একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে সমত্বরণে এক সরলরেখায় চলে 2 সেকেন্ডে 1 মিটার দূরত্ব যাওয়ার পর সমবেগে চলতে থাকে। পরবর্তী 1 মিটার যেতে কণাটির কত সময় লাগবে?

প্রথমে, কণাটির স্থিরাবস্থা থেকে সমতলরণে পৌঁছানোর জন্য প্রয়োজনীয় তথ্য দেওয়া হলো:

• প্রারম্ভিক গতি, \( u = 0 \)
• প্রথম 1 মিটার দূরত্বে চলার সময়, \( t_1 = 2 \text{ সেকেন্ড} \)
• উপাদান, \( s_1 = 1 \text{ মিটার} \)

সমবেগে চলার জন্য, চলন্ত কণাটির গতি হবে:

\( v = u + a t \)

এবং, চলন্ত দূরত্বের জন্য, সমীকরণ:

\( s = ut + \frac{1}{2} a t^2 \)

প্রথম 1 মিটার দূরত্বে, \( u = 0 \), তাই:

\( s_1 = \frac{1}{2} a t_1^2 \)

অর্থাৎ:

\( 1 = \frac{1}{2} a (2)^2 \)

এখানে,

\( 1 = 2a \Rightarrow a = \frac{1}{2} \text{ m/sec}^2 \)

এখন, সমবেগে চলার জন্য, কণাটির গতি হবে:

\( v = a t \)

কিন্তু, এই গতি, প্রথম 2 সেকেন্ডে,

\( v = a t_1 = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \text{ m/sec} \)

পরবর্তী 1 মিটার দূরত্ব, অর্থাৎ দ্বিতীয় অংশের জন্য, চলার সময় \( t_2 \) হবে।

উপাদান অনুযায়ী, দ্বিতীয় 1 মিটার দূরত্বে গতি পরিবর্তিত হচ্ছে, কারণ কণা সমবেগে চলছে।

সমবেগের জন্য, শুরু গতি এখন:

\( v_0 = 1 \text{ m/sec} \)

নতুন সময়ে, দূরত্ব:

\( s_2 = 1 \text{ মিটার} \)

এবং, গতি:

\( v = v_0 + a t_2 \)

অতএব, দ্বিতীয় 1 মিটার দূরত্বে, গতি পরিবর্তনের জন্য, চলন্ত দূরত্বের সমীকরণ:

\( s_2 = v_{avg} \times t_2 \)

এবং, গড় গতি:

\( v_{avg} = \frac{v_0 + v}{2} \)

তাই:

\( 1 = \frac{v_0 + v}{2} \times t_2 \)

এখানে, \( v = v_0 + a t_2 = 1 + \frac{1}{2} t_2 \)

সুতরাং,

\( 1 = \frac{1 + (1 + \frac{1}{2} t_2)}{2} \times t_2 \)

সমাধান করি:

\( 1 = \frac{2 + \frac{1}{2} t_2}{2} \times t_2 \)

\( 1 = \left(1 + \frac{1}{4} t_2\right) t_2 \)

বিন্যাস:

\( 1 = t_2 + \frac{1}{4} t_2^2 \)

এটি একটি দ্বিগুণ সমীকরণ:

\( \frac{1}{4} t_2^2 + t_2 - 1 = 0 \)

গুণনীয়ক রূপে লিখি:

\( t_2^2 + 4 t_2 - 4 = 0 \)

সমাধান করি:

\( t_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{(4)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} \)

\( t_2 = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} \)

\( t_2 = \frac{-4 \pm 4 \sqrt{2}}{2} \)

প্রাকৃতিক সময়ের জন্য, ধনাত্মক মান নেব:

\( t_2 = -2 + 2 \sqrt{2} \)

অর্থাৎ,

\( t_2 = 2 (\sqrt{2} - 1) \) সেকেন্ড।

প্রায়, \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), তাই:

\( t_2 \approx 2 \times (1.414 - 1) = 2 \times 0.414 = 0.828 \) সেকেন্ড।