cos (pisqrt(x-4)cos(pisqrtx)=1
RUETউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসহগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Topic Practice)RUET - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
C.
2
Explanation: 
Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \( \cos(\pi\sqrt{x-4})\cos(\pi\sqrt{x}) = 1 \)
আমরা জানি, \(-1 \le \cos(\theta) \le 1 \)। সুতরাং, \(\cos(\pi\sqrt{x-4})\) এবং \(\cos(\pi\sqrt{x})\) উভয়ই \(1\) অথবা উভয়ই \(-1\) হতে হবে।
কেস ১: \(\cos(\pi\sqrt{x-4}) = 1\) এবং \(\cos(\pi\sqrt{x}) = 1\)
এক্ষেত্রে, \(\pi\sqrt{x-4} = 2m\pi\) এবং \(\pi\sqrt{x} = 2n\pi\), যেখানে \(m\) ও \(n\) উভয়ই পূর্ণসংখ্যা।
সুতরাং, \(\sqrt{x-4} = 2m\) এবং \(\sqrt{x} = 2n\)
অতএব, \(x-4 = 4m^2\) এবং \(x = 4n^2\)
তাহলে, \(4n^2 - 4 = 4m^2\)
\(n^2 - 1 = m^2\)
\(n^2 - m^2 = 1\)
\((n+m)(n-m) = 1\)
যেহেতু \(m\) ও \(n\) পূর্ণসংখ্যা, তাই \(n+m = 1\) এবং \(n-m = 1\) অথবা \(n+m = -1\) এবং \(n-m = -1\)।
প্রথম ক্ষেত্রে, \(n = 1\) এবং \(m = 0\)। সুতরাং, \(x = 4n^2 = 4(1)^2 = 4\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \(n = -1\) এবং \(m = 0\)। সুতরাং, \(x = 4n^2 = 4(-1)^2 = 4\)
কেস ২: \(\cos(\pi\sqrt{x-4}) = -1\) এবং \(\cos(\pi\sqrt{x}) = -1\)
এক্ষেত্রে, \(\pi\sqrt{x-4} = (2m+1)\pi\) এবং \(\pi\sqrt{x} = (2n+1)\pi\), যেখানে \(m\) ও \(n\) উভয়ই পূর্ণসংখ্যা।
সুতরাং, \(\sqrt{x-4} = 2m+1\) এবং \(\sqrt{x} = 2n+1\)
অতএব, \(x-4 = (2m+1)^2\) এবং \(x = (2n+1)^2\)
তাহলে, \((2n+1)^2 - 4 = (2m+1)^2\)
\(4n^2 + 4n + 1 - 4 = 4m^2 + 4m + 1\)
\(4n^2 + 4n - 3 = 4m^2 + 4m\)
\(4n^2 + 4n + 1 - 4 = 4m^2 + 4m + 1\)
\((2n+1)^2 - (2m+1)^2 = 4\)
\((2n+1+2m+1)(2n+1-2m-1) = 4\)
\((2n+2m+2)(2n-2m) = 4\)
\(4(n+m+1)(n-m) = 4\)
\((n+m+1)(n-m) = 1\)
যেহেতু \(m\) ও \(n\) পূর্ণসংখ্যা, তাই \(n+m+1 = 1\) এবং \(n-m = 1\) অথবা \(n+m+1 = -1\) এবং \(n-m = -1\)।
প্রথম ক্ষেত্রে, \(n-m = 1\) এবং \(n+m+1 = 1\), সুতরাং \(n+m = 0\). যোগ করে পাই \(2n = 1\), সুতরাং \(n = 1/2\), যা পূর্ণসংখ্যা নয়।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \(n-m = -1\) এবং \(n+m+1 = -1\), সুতরাং \(n+m = -2\). যোগ করে পাই \(2n = -3\), সুতরাং \(n = -3/2\), যা পূর্ণসংখ্যা নয়।
সুতরাং, এই ক্ষেত্রে কোনো সমাধান নেই।
এখন \(x=4\) বসালে, \(\cos(\pi\sqrt{4-4})\cos(\pi\sqrt{4}) = \cos(0)\cos(2\pi) = 1 \cdot 1 = 1\). সুতরাং \(x=4\) একটি সমাধান।
যদি \(x = 5\) বসাই, \(\cos(\pi\sqrt{5-4})\cos(\pi\sqrt{5}) = \cos(\pi)\cos(\pi\sqrt{5}) = -1 \cdot \cos(\pi\sqrt{5})\). যেহেতু \(\sqrt{5}\) একটি অমূলদ সংখ্যা, \(\cos(\pi\sqrt{5}) \neq -1\), তাই \(x=5\) সমাধান নয়।
যদি \(x = 8\) বসাই, \(\cos(\pi\sqrt{8-4})\cos(\pi\sqrt{8}) = \cos(\pi\sqrt{4})\cos(\pi\sqrt{8}) = \cos(2\pi)\cos(2\pi\sqrt{2}) = 1 \cdot \cos(2\pi\sqrt{2})\). যেহেতু \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা, \(\cos(2\pi\sqrt{2}) \neq 1\), তাই \(x=8\) সমাধান নয়।
অতএব, প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান \(x = 4\)। 🤔
যদি \(\sqrt{x-4}\) ও \(\sqrt{x}\) উভয়ই যুগ্ন সংখ্যা হয় তাহলে \(x=4\) একটি সমাধান।
\(x=5\) হলে \(\cos(\pi\sqrt{x-4})\cos(\pi\sqrt{x}) = \cos(\pi)\cos(\pi\sqrt{5}) = -1\cdot \cos(\pi\sqrt{5})\neq 1\)
উত্তর: \(x=4\) 🥳
প্রশ্ন: \( \cos(\pi\sqrt{x-4})\cos(\pi\sqrt{x}) = 1 \)
আমরা জানি, \(-1 \le \cos(\theta) \le 1 \)। সুতরাং, \(\cos(\pi\sqrt{x-4})\) এবং \(\cos(\pi\sqrt{x})\) উভয়ই \(1\) অথবা উভয়ই \(-1\) হতে হবে।
কেস ১: \(\cos(\pi\sqrt{x-4}) = 1\) এবং \(\cos(\pi\sqrt{x}) = 1\)
এক্ষেত্রে, \(\pi\sqrt{x-4} = 2m\pi\) এবং \(\pi\sqrt{x} = 2n\pi\), যেখানে \(m\) ও \(n\) উভয়ই পূর্ণসংখ্যা।
সুতরাং, \(\sqrt{x-4} = 2m\) এবং \(\sqrt{x} = 2n\)
অতএব, \(x-4 = 4m^2\) এবং \(x = 4n^2\)
তাহলে, \(4n^2 - 4 = 4m^2\)
\(n^2 - 1 = m^2\)
\(n^2 - m^2 = 1\)
\((n+m)(n-m) = 1\)
যেহেতু \(m\) ও \(n\) পূর্ণসংখ্যা, তাই \(n+m = 1\) এবং \(n-m = 1\) অথবা \(n+m = -1\) এবং \(n-m = -1\)।
প্রথম ক্ষেত্রে, \(n = 1\) এবং \(m = 0\)। সুতরাং, \(x = 4n^2 = 4(1)^2 = 4\)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \(n = -1\) এবং \(m = 0\)। সুতরাং, \(x = 4n^2 = 4(-1)^2 = 4\)
কেস ২: \(\cos(\pi\sqrt{x-4}) = -1\) এবং \(\cos(\pi\sqrt{x}) = -1\)
এক্ষেত্রে, \(\pi\sqrt{x-4} = (2m+1)\pi\) এবং \(\pi\sqrt{x} = (2n+1)\pi\), যেখানে \(m\) ও \(n\) উভয়ই পূর্ণসংখ্যা।
সুতরাং, \(\sqrt{x-4} = 2m+1\) এবং \(\sqrt{x} = 2n+1\)
অতএব, \(x-4 = (2m+1)^2\) এবং \(x = (2n+1)^2\)
তাহলে, \((2n+1)^2 - 4 = (2m+1)^2\)
\(4n^2 + 4n + 1 - 4 = 4m^2 + 4m + 1\)
\(4n^2 + 4n - 3 = 4m^2 + 4m\)
\(4n^2 + 4n + 1 - 4 = 4m^2 + 4m + 1\)
\((2n+1)^2 - (2m+1)^2 = 4\)
\((2n+1+2m+1)(2n+1-2m-1) = 4\)
\((2n+2m+2)(2n-2m) = 4\)
\(4(n+m+1)(n-m) = 4\)
\((n+m+1)(n-m) = 1\)
যেহেতু \(m\) ও \(n\) পূর্ণসংখ্যা, তাই \(n+m+1 = 1\) এবং \(n-m = 1\) অথবা \(n+m+1 = -1\) এবং \(n-m = -1\)।
প্রথম ক্ষেত্রে, \(n-m = 1\) এবং \(n+m+1 = 1\), সুতরাং \(n+m = 0\). যোগ করে পাই \(2n = 1\), সুতরাং \(n = 1/2\), যা পূর্ণসংখ্যা নয়।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \(n-m = -1\) এবং \(n+m+1 = -1\), সুতরাং \(n+m = -2\). যোগ করে পাই \(2n = -3\), সুতরাং \(n = -3/2\), যা পূর্ণসংখ্যা নয়।
সুতরাং, এই ক্ষেত্রে কোনো সমাধান নেই।
এখন \(x=4\) বসালে, \(\cos(\pi\sqrt{4-4})\cos(\pi\sqrt{4}) = \cos(0)\cos(2\pi) = 1 \cdot 1 = 1\). সুতরাং \(x=4\) একটি সমাধান।
যদি \(x = 5\) বসাই, \(\cos(\pi\sqrt{5-4})\cos(\pi\sqrt{5}) = \cos(\pi)\cos(\pi\sqrt{5}) = -1 \cdot \cos(\pi\sqrt{5})\). যেহেতু \(\sqrt{5}\) একটি অমূলদ সংখ্যা, \(\cos(\pi\sqrt{5}) \neq -1\), তাই \(x=5\) সমাধান নয়।
যদি \(x = 8\) বসাই, \(\cos(\pi\sqrt{8-4})\cos(\pi\sqrt{8}) = \cos(\pi\sqrt{4})\cos(\pi\sqrt{8}) = \cos(2\pi)\cos(2\pi\sqrt{2}) = 1 \cdot \cos(2\pi\sqrt{2})\). যেহেতু \(\sqrt{2}\) একটি অমূলদ সংখ্যা, \(\cos(2\pi\sqrt{2}) \neq 1\), তাই \(x=8\) সমাধান নয়।
অতএব, প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান \(x = 4\)। 🤔
যদি \(\sqrt{x-4}\) ও \(\sqrt{x}\) উভয়ই যুগ্ন সংখ্যা হয় তাহলে \(x=4\) একটি সমাধান।
\(x=5\) হলে \(\cos(\pi\sqrt{x-4})\cos(\pi\sqrt{x}) = \cos(\pi)\cos(\pi\sqrt{5}) = -1\cdot \cos(\pi\sqrt{5})\neq 1\)
উত্তর: \(x=4\) 🥳