f(x)= x^3-18x^2+96x ফাংশনের সর্বনিম্ন মান কত?

ফাংশনের সর্বনিম্ন মান নির্ণয়

দেওয়া আছে, \(f(x)= x^3-18x^2+96x\)

প্রথমে, \(f(x)\)-এর প্রথম অন্তরকলজ নির্ণয় করি:

\(f'(x) = 3x^2 - 36x + 96\)

এখন, চরম ও অবম মানের জন্য \(f'(x) = 0\) হবে।

সুতরাং, \(3x^2 - 36x + 96 = 0\)

বা, \(x^2 - 12x + 32 = 0\) (উভয় দিকে 3 দিয়ে ভাগ করে)

বা, \((x-4)(x-8) = 0\)

সুতরাং, \(x = 4\) অথবা \(x = 8\)

এখন, \(f(x)\)-এর দ্বিতীয় অন্তরকলজ নির্ণয় করি:

\(f''(x) = 6x - 36\)

\(x = 4\) হলে, \(f''(4) = 6(4) - 36 = 24 - 36 = -12 < 0\). সুতরাং, \(x = 4\) একটি চরম বিন্দু।

\(x = 8\) হলে, \(f''(8) = 6(8) - 36 = 48 - 36 = 12 > 0\). সুতরাং, \(x = 8\) একটি অবম বিন্দু।

যেহেতু \(x = 8\) অবম বিন্দু, তাই \(x = 8\) এর জন্য \(f(x)\)-এর মান সর্বনিম্ন হবে।

অতএব, সর্বনিম্ন মান \(f(8) = (8)^3 - 18(8)^2 + 96(8)\)

\(= 512 - 18(64) + 768\)

\(= 512 - 1152 + 768\)

\(= 1280 - 1152\)

\(= 128\)

সুতরাং, ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান 128। 🎉