H উচ্চতায় অবস্থিত একটি বেলুন থেকে একটি পাথর ছেড়ে দিলে তা । উচ্চতায় অবস্থিত একটি হেলানো তনের উপর আছড়ে পড়ে। হেলানো তলকে আঘাতের পর পাথরটির বেগ আনুভূমিক হয়। h/H এর মান কত হলে পাথরটি ভূমিকে স্পর্শ করতে সর্বোচ্চ সময় নিবে? (A stone falls from a balloon at a height of H above the ground and hits an inclined plane in its path at a height of h. After impact, the velocity of the stone becomes horizontal. What should be the value of hill so that the stone will take maximum time to reach the ground?)

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

সমাধান

ধরি, পাথরটি বেলুন থেকে ছেড়ে দেওয়ার পর \(t_1\) সময়ে হেলানো তলকে আঘাত করে এবং হেলানো তল থেকে ভূমি স্পর্শ করতে \(t_2\) সময় লাগে। হেলানো তলকে আঘাত করার পূর্বের উল্লম্ব বেগ: \(v_1 = gt_1\) উচ্চতা \(h = H - \frac{1}{2}gt_1^2\) সুতরাং, \(t_1 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}\) ⏱️ হেলানো তলে আঘাতের পর পাথরটির বেগ আনুভূমিক হওয়ায় উল্লম্ব বেগ \(0\) হয়ে যায়। তাই \(t_2\) সময়ে \(h\) উচ্চতা অতিক্রম করতে হবে। সুতরাং, \(h = \frac{1}{2}gt_2^2\) অতএব, \(t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}\) 🚀 মোট সময়, \(T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} + \sqrt{\frac{2h}{g}}\) ⏳ \(T\) এর মান সর্বোচ্চ হওয়ার জন্য \(\frac{dT}{dh} = 0\) হতে হবে। \(\frac{dT}{dh} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{g}}} \left[ \frac{-1}{2\sqrt{H-h}} + \frac{1}{2\sqrt{h}} \right] = 0\) 🤔 \(\frac{1}{2\sqrt{H-h}} = \frac{1}{2\sqrt{h}}\) \(\sqrt{H-h} = \sqrt{h}\) \(H - h = h\) \(H = 2h\) সুতরাং, \(\frac{h}{H} = \frac{1}{2}\) ✅ অতএব, \(\frac{h}{H}\) এর মান \(\frac{1}{2}\) হলে পাথরটি ভূমিকে স্পর্শ করতে সর্বোচ্চ সময় নিবে। 🥳 ```