\( y = cx(1+x) \) বক্ররেখার মূল বিন্দুতে তার স্পর্শক x-অক্ষের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করবে, c-এর মান কত হলে?

Another Explanation (5):

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, \( y = cx(1 + x) \) বক্ররেখার মূল বিন্দুতে তার স্পর্শক x-অক্ষের সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে। আমাদের লক্ষ্য হলো, এই পরিস্থিতিতে \(c\) এর মান নির্ণয় করা।

প্রথমে, মূল বিন্দু নির্ণয় করি। মূল বিন্দুতে, \( y = 0 \) হয়। অতঃপর,

\[ cx(1 + x) = 0 \] অর্থাৎ, \[ x = 0 \quad \text{অথবা} \quad 1 + x = 0 \Rightarrow x = -1 \] অতএব, মূল বিন্দুতে দুটি সমাধান সম্ভব: \( x = 0 \) এবং \( x = -1 \)। আমরা সাধারণত, মূল বিন্দু হিসেবে \( x = 0 \) ধরি। (কারণ এটি সাধারণত মূল বিন্দু হিসেবে বিবেচিত হয়।) অতএব, মূল বিন্দুতে, \( (0, 0) \)। এখন, মূল বিন্দুতে স্লোপ বা টানজেন্টের অবস্থা নির্ণয় করি। এর জন্য, ডেরিভেটিভ (অবদান) নির্ণয় করব: \[ \frac{dy}{dx} = c \frac{d}{dx} [x(1 + x)] = c [ (1 + x) + x(1) ] = c [1 + x + x] = c (1 + 2x) \] মূল বিন্দুতে, যেখানে \( x=0 \), \[ \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0} = c (1 + 0) = c \] অর্থাৎ, মূল বিন্দুতে স্পর্শক রেখার ঢাল \( c \)। এখন, স্পর্শক রেখার সাথে x-অক্ষের কোণ \(30^\circ\) হলে, ঢাল \( m \) এর মান হবে: \[ m = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \] অতএব, \[ c = \frac{1}{\sqrt{3}} \] সুতরাং, \( c \) এর মান হলো: \[ \boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}} \]