x​⁴​+a²​​x²​+a⁴​ = 0 সমীকরণটির মূলগুলো কীরূপ?​​​​​​​​​​​​​​​​​​

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ হলো: \[ x^4 + a^2 x^2 + a^4 = 0 \]

ধাপ ১: পরিবর্তন করা

আমরা মনে করি \( y = x^2 \), তাহলে সমীকরণটি হবে: \[ y^2 + a^2 y + a^4 = 0 \]

ধাপ ২: দ্বৈত সমাধান

এখন, এটি একটি দ্বৈত সমীকরণ। এর মূলগুলি খুঁজতে, আমরা সমাধান করব: \[ y = \frac{-a^2 \pm \sqrt{a^4 - 4a^4}}{2} \] \[ \Rightarrow y = \frac{-a^2 \pm \sqrt{a^4 (1 - 4)}}{2} \] \[ \Rightarrow y = \frac{-a^2 \pm \sqrt{-3a^4}}{2} \] \[ \Rightarrow y = \frac{-a^2 \pm a^2 \sqrt{-3}}{2} \] \[ \Rightarrow y = \frac{-a^2 \pm a^2 i \sqrt{3}}{2} \] \[ \Rightarrow y = \frac{a^2 (-1 \pm i \sqrt{3})}{2} \]

ধাপ ৩: মূলগুলো নির্ণয় করা

এখন, \( y = x^2 \), তাই: \[ x^2 = \frac{a^2 (-1 \pm i \sqrt{3})}{2} \] এবং, \[ x = \pm \sqrt{\frac{a^2 (-1 \pm i \sqrt{3})}{2}} \] এখানে মূলগুলো জটিল, কারণ মূলের ভিতরে একটি জটিল সংখ্যা রয়েছে। তাই, মূলগুলো জটিল সংখ্যার সমাধান।

উপসংহার:

সমীকরণের মূলগুলো জটিল সংখ্যা।