\( A = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \) এবং \( |A^2| = 1 \) হলে \( \theta \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স:

A = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}

এবং আমাদের জানা যে:

|A^2| = 1

প্রথমে, ম্যাট্রিক্স A এর ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:

|A| = \det(A) = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

এবং, ম্যাট্রিক্স A এর স্কোয়ার:

A^2 = A \times A

এটা স্পষ্ট যে, A একটি রোটেশন ম্যাট্রিক্স, যার ডিটারমিন্যান্ট সবসময় 1। এখন, ডিটারমিন্যান্টের জন্য:

|A^2| = |A|^2

কারণ, ডিটারমিন্যান্টের জন্য:

|A^2| = \det(A^2) = (\det A)^2 = |A|^2

এবং, যেহেতু |A| = 1, তাহলে:

|A^2| = 1^2 = 1

অর্থাৎ, প্রশ্নে দেওয়া শর্তের সাথে এই ফলাফল মিলে যায়, কারণ:

|A^2| = 1

এবং এটি সবসময় সত্য, যদি |A| = 1 হয়। আবার, ম্যাট্রিক্স A এর ডিটারমিন্যান্ট সবসময় 1, তাই:

\det(A) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1

এটি স্বাভাবিকভাবে সত্য, কারণ এটি ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি। অতএব, \(\theta\) এর জন্য কোন নির্দিষ্ট মানের প্রয়োজন নেই। অর্থাৎ, যেহেতু এই শর্ত সব \(\theta\) এর জন্য সত্য, তাই:

\theta \in \mathbb{R}

অথবা, অর্থাৎ, \(\theta\) যেকোন বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। উপসংহার:

|A^2| = 1 \text{ হলে, } \theta \text{ এর মানের উপর কোনও নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতা নেই।}

অতএব, \(\theta\) এর মান নির্দিষ্ট করে বলতে গেলে:

\boxed{\text{কোন নির্দিষ্ট মান নয়, সকল বাস্তব মান সম্ভব।}}