vecA,vecB ও vecC  অর্থবহ হলে নিচের কোনটি অর্থবহ নহে?

প্রশ্নের বিবরণ অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া ভেক্টরসমূহ \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), এবং \(\vec{C}\)। আমাদের লক্ষ্য হলো নির্ণয় করা কোনটি অর্থবহ নয়।

প্রথমে, ভেক্টর গুণের সংজ্ঞা মনে রাখতে হবে।

• \( \vec{A} \cdot \vec{B} \) : ডট প্রডাক্ট, যা একটি স্কেলার মান দেয়।
• \( \vec{A} \times \vec{B} \) : ক্রস প্রডাক্ট, যা একটি ভেক্টর মান দেয়।

এখন, বিবেচনা করি \( \vec{A} \cdot (\vec{B} \cdot \vec{C}) \) এই প্রকাশের জন্য।

তাহলে, প্রথমে \(\vec{B} \cdot \vec{C}\) নির্ণয় করি। এটি একটি স্কেলার।

তাহলে, এখন প্রশ্ন হয়, \(\vec{A} \cdot (\text{স্কেলার})\)।

একটি স্কেলার মানের সাথে ভেক্টরের ডট প্রডাক্টের জন্য, স্কেলার মানটি ভেক্টরের সাথে গুণিত হয়।

অর্থাৎ, \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \cdot \vec{C}) = (\vec{B} \cdot \vec{C}) (\vec{A} \cdot 1)\), কিন্তু এটি সঠিক নয় কারণ ডট প্রডাক্টের মধ্যে ভেক্টর এবং স্কেলার সংমিশ্রণ এভাবে হয় না।

আমরা জানি, ডট প্রডাক্টের মধ্যে একটি ভেক্টর বা স্কেলার মানের ভিতরে ভেক্টর থাকা উচিত।

তাই, \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \cdot \vec{C})\) এর অর্থ হয়, প্রথমে \(\vec{B} \cdot \vec{C}\) নির্ণয়, যা একটি স্কেলার।

তারপর, \(\vec{A}\) ভেক্টরটি সেই স্কেলার মানের সাথে ডট প্রডাক্ট হয়।

এটি বৈধ, কারণ স্কেলার মানের সাথে ভেক্টর ডট প্রডাক্ট সম্ভব।

অন্যদিকে, যদি আমরা কিছু এই ধরনের প্রকাশ দেখি:

• \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\): এটি ডট প্রডাক্টের মধ্যে ক্রস প্রডাক্ট, যা বৈধ কারণ \(\vec{B} \times \vec{C}\) একটি ভেক্টর।
• \(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})\): ক্রস প্রডাক্টের মধ্যে ক্রস প্রডাক্ট, যা বৈধ।
• \(\vec{A} \times (\vec{B} \cdot \vec{C})\): এখানে \(\vec{B} \cdot \vec{C}\) একটি স্কেলার, তাই \(\vec{A} \times\) সেই স্কেলার, যা অর্থহীন। কারণ ক্রস প্রডাক্টের জন্য উভয় এন্টারির ভেক্টর হওয়া আবশ্যক।

অতএব, \(\vec{A} \times (\vec{B} \cdot \vec{C})\) অর্থবহ নয়।

উত্তর:

" \(\vec{A} \times (\vec{B} \cdot \vec{C})\) "