একই উপাদানের তৈরি দুটি সমমানের রোধের তারের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3। তার দুটির ব্যাসের অনুপাত কত?

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: দুটি সমমানের রোধের তারের দৈর্ঘ্যের অনুপাত \( l_1 : l_2 = 2 : 3 \) এবং উভয়ের উপাদান একই।

আমরা জানি, রোধ (\( R \)) এর সূত্র:

\( R = \rho \frac{l}{A} \)

• \( \rho \) = উপাদানের ধাতু বা উপাদান সম্পর্কিত ধ্রুবক,
• \( l \) = তারের দৈর্ঘ্য,
• \( A \) = তারের ক্ষেত্রফল।

উভয়ের ধ্রুবক একই হওয়ায়, রোধের অনুপাত হবে:

\( R_1 : R_2 = \frac{l_1}{A_1} : \frac{l_2}{A_2} \)

উপাদান সমান, তাই:

\( R_1 : R_2 = \frac{l_1}{A_1} : \frac{l_2}{A_2} = \frac{l_1}{l_2} \times \frac{A_2}{A_1} \)

এখানে, ক্ষেত্রফল \( A \) এর সূত্র হলো:

\( A = \pi r^2 \), যেখানে \( r \) হল ব্যাসের অর্ধেক।

অতএব, ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে:

\( \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \)

ব্যাসের অনুপাত \( d_1 : d_2 = r_1 : r_2 \), তাই:

\( \frac{A_2}{A_1} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^2 \)

তাহলে, রোধের অনুপাত হবে:

\( R_1 : R_2 = \frac{l_1}{l_2} \times \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^2 \)

উপাদানের সমান হওয়ায়, ধরুন, রোধের অনুপাত 1:1 (অর্থাৎ, সমমানের রোধের জন্য), তাহলে:

\( 1 = \frac{l_1}{l_2} \times \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^2 \)

দেওয়া হয়েছে: \( l_1 : l_2 = 2 : 3 \), তাই:

\( 1 = \frac{2}{3} \times \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^2 \)

এখন, \( \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^2 = \frac{3}{2} \)

অতএব, ব্যাসের অনুপাত হবে:

\( \frac{d_1}{d_2} = \sqrt{\frac{2}{3}} \)

অর্থাৎ, ব্যাসের অনুপাত:

\( d_1 : d_2 = \sqrt{2} : \sqrt{3} \)

সুতরাং, উত্তর হলো: √2 : √3