int(dx)/(e^x+e^(-x)) এর মান কত?

প্রশ্ন: \(\int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}\) এর মান কত?

উত্তর: \(\tan^{-1}(e^x) + C\)

ব্যাখ্যা:

ধরি, \(I = \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}\)

আমরা লিখতে পারি, \(I = \int \frac{dx}{e^x + \frac{1}{e^x}} = \int \frac{e^x dx}{e^{2x} + 1}\)

এখন, ধরি \(e^x = t\), তাহলে \(e^x dx = dt\)

সুতরাং, \(I = \int \frac{dt}{t^2 + 1}\)

আমরা জানি, \(\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \tan^{-1}(x) + C\)

অতএব, \(I = \tan^{-1}(t) + C = \tan^{-1}(e^x) + C\), যেখানে C হল সমাকলন ধ্রুবক। 🎉