int_0^(pi/2)sin^5costheta dθ=?
CUUnit-Aউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রযোগজীকরণsine ও cosine এর সংমিশ্রণ সংক্রান্ত (Topic Practice)CU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
1/6
Another Explanation (5):
<html>
<body>
<h3>সমাধান:</h3>
আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করব:
<math> \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 \theta \cos \theta \, d\theta </math>
প্রথমে, আমরা substitution করব:
<math> u = \sin \theta </math>
অর্থাৎ,
<math> du = \cos \theta \, d\theta </math>
সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:
<math> \int_{u=0}^{u=1} u^5 \, du </math>
এখন, আমরা সাধারণত ইন্টিগ্রাল সমাধান করব:
<math> \int u^5 \, du = \frac{u^6}{6} + C </math>
সীমান্ত অনুসারে:
- যখন \(\theta = 0\), তখন \(u = \sin 0 = 0\)
- যখন \(\theta = \frac{\pi}{2}\), তখন \(u = \sin \frac{\pi}{2} = 1\)
অতএব,
<math> \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 \theta \cos \theta \, d\theta = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} </math>
উত্তর:
<strong>1/6</strong>