int(sinx+cosx)/sqrt(1+sin2x)dx=?

প্রশ্ন: ∫(sin x + cos x)/√(1 + sin 2x) dx = ?

সমাধান:

আমরা জানি, sin 2x = 2 sin x cos x

সুতরাং, 1 + sin 2x = sin²x + cos²x + 2 sin x cos x = (sin x + cos x)²

অতএব, √(1 + sin 2x) = √( (sin x + cos x)² ) = |sin x + cos x|

এখন, ∫(sin x + cos x)/√(1 + sin 2x) dx = ∫(sin x + cos x)/|sin x + cos x| dx

যদি sin x + cos x > 0 হয়, তবে |sin x + cos x| = sin x + cos x

তাহলে, ∫(sin x + cos x)/(sin x + cos x) dx = ∫1 dx = x + C

যদি sin x + cos x < 0 হয়, তবে |sin x + cos x| = -(sin x + cos x)

তাহলে, ∫(sin x + cos x)/-(sin x + cos x) dx = ∫-1 dx = -x + C

যেহেতু উত্তরে শুধু x দেওয়া আছে, তাই আমরা ধরে নিতে পারি sin x + cos x > 0। অন্যথায়, সঠিক উত্তর হবে ±x + C।

সুতরাং, ∫(sin x + cos x)/√(1 + sin 2x) dx = x + C 🎉

প্রদত্ত উত্তর: x