int_0^(π/2)cos^5xsinxdx  = কত?

Explanation:

Another Explanation (5): আয় integral টি সমাধান করা যাক। 🧐 ধরি, \(u = \cos x\). তাহলে, \(\frac{du}{dx} = -\sin x\) সুতরাং, \(du = -\sin x dx\) অথবা \(\sin x dx = -du\). এখন, যখন \(x = 0\), তখন \(u = \cos 0 = 1\). আবার, যখন \(x = \frac{\pi}{2}\), তখন \(u = \cos \frac{\pi}{2} = 0\). অতএব, প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি \(u\) এর সাপেক্ষে পরিবর্তন করলে পাই: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x \sin x dx = \int_1^0 u^5 (-du) = - \int_1^0 u^5 du\) আমরা জানি, \(\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx\). সুতরাং, \(- \int_1^0 u^5 du = \int_0^1 u^5 du\) এখন, \(\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\) এই সূত্র ব্যবহার করে পাই, \(\int_0^1 u^5 du = \Big[ \frac{u^6}{6} \Big]_0^1 = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6}\) সুতরাং, \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^5 x \sin x dx = \frac{1}{6}\). 🎉