int_0^(pi/4)(sin2theta)/(sin^4theta+cos^4theta)d theta এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta \)।

এবং \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \)।

সুতরাং, \( \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - \frac{1}{2} (2\sin \theta \cos \theta)^2 = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta \)।

অতএব, \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta} d\theta \)।

ধরি, \( u = \sin 2\theta \)। তাহলে, \( du = 2\cos 2\theta d\theta \)। কিন্তু আমাদের ইন্টিগ্রালে \( \sin 2\theta \) আছে। তাই অন্যভাবে করতে হবে।

আবার, ধরি, \( t = \sin^2 2\theta \)। তাহলে, \( dt = 2\sin 2\theta \cdot 2\cos 2\theta d\theta = 4 \sin 2\theta \cos 2\theta d\theta \)। 🤔 এটা কাজে লাগবে না।

আবার করি, ধরি, \( u = \sin^2 2\theta \)। সুতরাং, \( du = 2 \sin 2\theta \cos 2\theta \cdot 2 d\theta = 2 \sin 4\theta d\theta \)। 🤔এটাও কাজে দ???বে না।

আচ্ছা, \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\sin 2\theta}{2 - \sin^2 2\theta} d\theta \)।

ধরি, \( \cos 2\theta = x \)। তাহলে, \( -2\sin 2\theta d\theta = dx \)। সুতরাং, \( \sin 2\theta d\theta = -\frac{1}{2} dx \)।

যখন \( \theta = 0 \), \( x = \cos 0 = 1 \)।

যখন \( \theta = \frac{\pi}{4} \), \( x = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \)।

আমরা জানি, \( \sin^2 2\theta = 1 - \cos^2 2\theta = 1 - x^2 \)।

সুতরাং, \( \int_1^0 \frac{-dx}{2 - (1 - x^2)} = \int_1^0 \frac{-dx}{1 + x^2} = -\int_1^0 \frac{dx}{1 + x^2} = \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2} \)।

আমরা জানি, \( \int \frac{dx}{1 + x^2} = \tan^{-1} x + C \)।

সুতরাং, \( \int_0^1 \frac{dx}{1 + x^2} = [\tan^{-1} x]_0^1 = \tan^{-1} 1 - \tan^{-1} 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \)। 🎉

অতএব, \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 2\theta}{\sin^4 \theta + \cos^4 \theta} d\theta = \frac{\pi}{4} \)।