\( \int_0^1 \frac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} dx = ? \)

প্রথমত, সমাধানের জন্য আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করবঃ

\[ I = \int_0^1 \frac{\cos x}{\sqrt{1 + \sin^2 x}} \, dx \]

চিহ্নিত করবঃ

\[ u = \sin x \]

অতঃ

\[ du = \cos x \, dx \]

সুতরাং, যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sin 0 = 0 \)

আর যখন \( x = 1 \), তখন \( u = \sin 1 \)

এবং, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হবে:

\[ I = \int_{u=0}^{u=\sin 1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} \, du \]

এটি একটি সাধারণ ইন্টিগ্রাল:

\[ I = \int_0^{\sin 1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}} \, du \]

এবং, এর সমাধান হলো:

\[ I = \sinh^{-1} u \bigg|_0^{\sin 1} = \sinh^{-1} (\sin 1) - \sinh^{-1} (0) \]

জেনে রাখি, \(\sinh^{-1} 0 = 0\)। অতএব,

\[ I = \sinh^{-1} (\sin 1) \]

অতএব, ইন্টিগ্রালের মান হলো:

\[ \boxed{ \sinh^{-1} (\sin 1) } \]

এবং, এটি বাস্তব মানের একটি মান, অর্থাৎ "nan" নয়।