int_0^πsin^4xcos^5xdx = কত?

আমরা \(\int_0^\pi \sin^4x \cos^5x \, dx\) এর মান নির্ণয় করতে চাই।

আমরা জানি, \(\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(a+b-x) \, dx\)।

সুতরাং, \(\int_0^\pi \sin^4x \cos^5x \, dx = \int_0^\pi \sin^4(\pi-x) \cos^5(\pi-x) \, dx\)

আমরা জানি, \(\sin(\pi-x) = \sin x\) এবং \(\cos(\pi-x) = -\cos x\)।

সুতরাং, \(\int_0^\pi \sin^4(\pi-x) \cos^5(\pi-x) \, dx = \int_0^\pi \sin^4x (-\cos x)^5 \, dx = \int_0^\pi \sin^4x (-\cos^5x) \, dx = -\int_0^\pi \sin^4x \cos^5x \, dx\)

সুতরাং, যদি \(I = \int_0^\pi \sin^4x \cos^5x \, dx\) হয়, তবে \(I = -I\)।

অতএব, \(2I = 0\), সুতরাং \(I = 0\)।

সুতরাং, \(\int_0^\pi \sin^4x \cos^5x \, dx = 0\)。🎉