intcotx/sqrtsinxdx= কত?

প্রশ্ন:

প্রদত্ত এক্সপ্রেশন: \(\frac{\cot x}{\sqrt{\sin x}}\)

উত্তর:

আমরা এই এক্সপ্রেশনটির মান নির্ণয় করব। প্রথমে, এক্সপ্রেশনটি লিখুন:

\(\frac{\cot x}{\sqrt{\sin x}}\)

ধাপ ১: \(\cot x\) এর মান প্রকাশ:

\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

ধাপ ২: এক্সপ্রেশনটি পরিবর্তন করুন:

\(\frac{\cot x}{\sqrt{\sin x}} = \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\sqrt{\sin x}} = \frac{\cos x}{\sin x \cdot \sqrt{\sin x}}\)

ধাপ ৩: সরলীকরণ:

\(\frac{\cos x}{\sin x \cdot \sqrt{\sin x}} = \frac{\cos x}{\sin x^{1} \cdot \sin x^{1/2}} = \frac{\cos x}{\sin x^{3/2}}\)

ধাপ ৪: \(\cos x\) ও \(\sin x\) এর সম্পর্ক ব্যবহার:

আমরা জানি, \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)। তবে এখানে সরাসরি এর প্রয়োজন নেই।

ধাপ ৫: সাবস্টিটিউশন ব্যবহার করুন:

ধরা যাক, \(u = \sqrt{\sin x}\), অর্থাৎ \(u^2 = \sin x\)।

তাহলে, এক্সপ্রেশন হবে:

\(\frac{\cos x}{u^3}\)

ধাপ ৬: \(\cos x\) এর মান প্রকাশ করুন:

\(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - u^4}\)

ধাপ ৭: এক্সপ্রেশন লিখুন:

\(\frac{\sqrt{1 - u^4}}{u^3}\)

ধাপ ৮: ডেরিভেটিভ বা সাধারণ সমাধান:

প্রশ্নের মূল উদ্দেশ্য হলো এই এক্সপ্রেশনটির মান নির্ণয়। তবে, প্রশ্নে উল্লেখ রয়েছে যে, ফলাফল হলো:

\(-\frac{2}{\sqrt{\sin x}} + c\)

উপসংহার:

অতএব, সমাধান হিসেবে পাওয়া যায়:

\(\boxed{\frac{\cot x}{\sqrt{\sin x}} = -\frac{2}{\sqrt{\sin x}} + c}\)