Explanation: Solve: \( y = \sin x \) এবং \( y = \cos x \)
তাহলে, \( \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 = \tan \frac{\pi}{4} \)
\(\therefore x = n \pi + \frac{\pi}{4} \)
\( n = 0 \) হলে, \( x = \frac{\pi}{4} \), \( n = 1 \) হলে, \( x = \frac{5\pi}{4} \)
\(\therefore\) প্রদত্ত ব্যবধি \([0, 2\pi]\) এর মধ্যে সীমা \( 0, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, 2\pi\)
\(\therefore\) ক্ষেত্রফল \( A = \int_{0}^{\pi/4} (y_1 - y_2) dx + \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (y_1 - y_2) dx + \int_{5\pi/4}^{2\pi} (y_1 - y_2) dx \)
\(\implies A = \left[ \sin x + \cos x \right]_0^{\pi/4} + \left[ \sin x + \cos x \right]_{\pi/4}^{5\pi/4} + \left[ \sin x + \cos x \right]_{5\pi/4}^{2\pi} \)
\(\implies A = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1 + 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}\)
Another Explanation (5): ```html
প্রশ্ন: [0,2π] ব্যবধিতে y=sinx এবং y=cosx বক্ররেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
প্রথমে sinx = cosx সমাধান করে ছেদবিন্দুগুলো বের করি। 🧐
\[
\sin x = \cos x \\
\tan x = 1
\]
অতএব, \(x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\) এবং ব্যবধিটি হল [0, 2π].
এখন, [0,2π] ব্যবধিতে sinx এবং cosx এর মধ্যেকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আমাদের এই ব্যবধিকে কয়েকটি অংশে ভাগ করতে হবে যেখানে sinx এবং cosx এর আপেক্ষিক অবস্থান পরিবর্তিত হয়। 😎
১. \( \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \) : এই অংশে, \( \cos x \geq \sin x \).
২. \( \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right] \) : এই অংশে, \( \sin x \geq \cos x \).
৩. \( \left[\frac{5\pi}{4}, 2\pi\right] \) : এই অংশে, \( \cos x \geq \sin x \).
সুতরাং, ক্ষেত্রফল হবে: 🤩
\[
A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \, dx + \int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x) \, dx
\]
এখন ইন্টিগ্রেশনগুলো সমাধান করি: 🤓
\[
\int (\cos x - \sin x) \, dx = \sin x + \cos x + C
\]
\[
\int (\sin x - \cos x) \, dx = -\cos x - \sin x + C
\]
তাহলে,
\[
A = \left[\sin x + \cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left[-\cos x - \sin x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} + \left[\sin x + \cos x\right]_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi}
\]
মান বসিয়ে পাই: 🤯
\[
A = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - (0 + 1)\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) + \left((0 + 1) - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)
\]
\[
A = \left(\sqrt{2} - 1\right) + \left(\sqrt{2} + \sqrt{2}\right) + \left(1 + \sqrt{2}\right)
\]
\[
A = \sqrt{2} - 1 + 2\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}
\]
অতএব, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(4\sqrt{2}\) বর্গ একক। 🎉
```
