যে কোন বাস্তব সংখ্যা a,b,c,d এর জন্য ax³+bx²+cx+d=0 সমীকরণে কোনটি স্বত:সিদ্ধ?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) সমীকরণের ক্ষেত্রে কোনটি স্বত:সিদ্ধ তা জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. একটি মূল অবশ্যই অবাস্তব: ভুল, এটি সঠিক নয়। B. তিনটি মূলই অবাস্তব: ভুল, এটি সঠিক নয়। C. তিনটি মূল অবশ্যই বাস্তব: ভুল, এটি সঠিক নয়। D. তিনটি মূল অবশ্যই অবাস্তব: ভুল, এটি সঠিক নয়। E. একটি মূল অবশ্যই বাস্তব: সঠিক, এটি একটি বাস্তব মূল থাকবে কারণ এই ধরনের সমীকরণের অন্তত একটি বাস্তব মূল থাকে। নোট: কিউবিক সমীকরণের জন্য অন্তত একটি বাস্তব মূল থাকে।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন:

যে কোন বাস্তব সংখ্যা \(a, b, c, d\) এর জন্য \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) সমীকরণে কোনটি স্বতঃসিদ্ধ?

উত্তর:

"একটি মূল অবশ্যই বাস্তব"

ব্যাখ্যা:

ধরি, \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) একটি বহুপদী অপেক্ষক, যেখানে \(a, b, c, d\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(a \neq 0\)। যেহেতু \(f(x)\) একটি ত্রিঘাত বহুপদী, তাই এর তিনটি মূল থাকবে। মূলগুলো বাস্তব অথবা জটিল হতে পারে। জটিল মূলগুলো সবসময় অনুবন্ধী জোড় (complex conjugate pairs) আকারে থাকে। এখন, দুইটি কেস বিবেচনা করা যাক: কেস ১: যদি তিনটি মূলই বাস্তব হয়, তাহলে আমাদের বক্তব্যটি সত্য। ✅ কেস ২: যদি মূলগুলোর মধ্যে একটি জটিল হয়, তাহলে জটিল মূলটি অবশ্যই অনুবন্ধী জোড় আকারে থাকবে। অর্থাৎ, যদি \(p + iq\) একটি মূল হয়, তবে \(p - iq\) ও একটি মূল হবে, যেখানে \(p\) এবং \(q\) বাস্তব সংখ্যা এবং \(i = \sqrt{-1}\)। এক্ষেত্রে, দুটি জটিল মূল থাকার কারণে তৃতীয় মূলটি অবশ্যই বাস্তব হতে হবে। 🎯 অন্যথায়, মূলের সংখ্যা ৩ এর বেশি হয়ে যাবে, যা সম্ভব নয়। অতএব, \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) সমীকরণের একটি মূল অবশ্যই বাস্তব হবে। 💯

সিদ্ধান্ত:

সুতরাং, যে কোন বাস্তব সংখ্যা \(a, b, c, d\) এর জন্য \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) সমীকরণের "একটি মূল অবশ্যই বাস্তব" - এই উক্তিটি স্বতঃসিদ্ধ। 🎉 ```