একজন ব্যক্তি আড়াআড়িভাবে 3km/hr বেগে সাঁতার কেটে 177 মিটার প্রশস্ত স্রোতবিহীন নদী পার হতে পারে। নদী পার হতে স্বল্পতম কত সময়ের প্রয়ােজন হবে? যদি স্রোতের গতিবেগ 5km/hr হয়, যাত্রা বিন্দুর ঠিক বিপরীত বিন্দু হতে কত দূরে উক্ত ব্যক্তি পৌছাবে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন ১: একজন ব্যক্তি আড়াআড়িভাবে 3 km/hr বেগে সাঁতার কেটে 177 মিটার প্রশস্ত স্রোতবিহীন নদী পার হতে পারে। স্বল্পতম সময়ে নদী পার হওয়ার জন্য, তাকে নদীর ধারে তার চলাচলকে সর্বাধিক উপকারী করে তুলতে হবে।

ধাপ ১: ব্যক্তির পরিমাণগত তথ্য:

• স্রোতবিহীন নদী পার হওয়ার দূরত্ব, \(d = 177\,m\)
• ব্যক্তির আড়াআড়িভাবে সাঁতার কাটা বেগ, \(v_s = 3\,km/hr = \frac{3000\,m}{3600\,s} = \frac{5}{6}\,m/s\)

ধাপ ২: সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হওয়ার জন্য, ব্যক্তিকে তার অক্ষের সাথে সমকোণে সাঁতার কাটতে হবে।

অর্থাৎ, তার অভ্যন্তরীণ গতির মধ্যে, নদীর ধারে পার হওয়ার দিকের অভ্যন্তরীণ গতি হবে:

\[ v_{a} = v_s \sin \theta \] যেখানে, \(\theta\) হলো সেই কোণ, যার জন্য সময় সর্বনিম্ন হবে।

ধাপ ৩: নদীর প্রশস্ততা পার হওয়ার জন্য সময়:

\[ t = \frac{d}{v_s \sin \theta} \] নদী পার হওয়ার জন্য, তার অক্ষের সাথে সমকোণে সাঁতার কাটার জন্য, তার অক্ষের সাথে গতি, \(v_{s} \cos \theta\), নদীর ধারে তার গমনাগমন নির্ধারণ করে। তবে, নদী পার হওয়ার জন্য সবচেয়ে ছোট সময়ের জন্য, আমাদের \(\sin \theta\) সর্বোচ্চ করতে হবে।

এজন্য, \(\sin \theta = 1\) হলে, অর্থাৎ, \(\theta = 90^\circ\)।

তাহলে, সর্বনিম্ন সময়:

\[ t_{min} = \frac{177\,m}{v_s} = \frac{177}{5/6} = 177 \times \frac{6}{5} = \frac{1062}{5} = 212.4\,s \] এখন, মিনিটে রূপান্তর:

\[ t_{min} = \frac{212.4}{60} \approx 3.54\,\text{ মিনিট} \]

উত্তর ১:

প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া হয়েছে: 3.54 min

---

প্রশ্ন ২: যদি স্রোতের গতিবেগ 5 km/hr হয়, তাহলে যাত্রা বিন্দুর ঠিক বিপরীত বিন্দু থেকে কত দূরে পৌঁছাবে?

ধাপ ১: স্রোতের গতি:

\[ v_{c} = 5\,km/hr = \frac{5000\,m}{3600\,s} = \frac{25}{18}\,m/s \]

ধাপ ২: ব্যক্তির গতি, যখন স্রোত থাকছে:

• অভ্যন্তরীণ গতি, \(v_s = 5/6\,m/s\)
• স্রোতের গতি, \(v_{c} = 25/18\,m/s\)

ধাপ ৩: ব্যক্তির অভ্যন্তরীণ গতি দিয়ে, তার মোট গমনাগমন সমন্বয়:

যেহেতু, তিনি নদীর বিপরীত বিন্দুতে পৌঁছানোর জন্য, তার গতি স্রোতের বিপরীতে থাকবে, তবে তার গতি অক্ষের সাথে সমকোণে সাঁতার কাটলে, তার অভ্যন্তরীণ গতি থাকবে।

ধাপ ৪: দূরত্বের হিসাব:

স্রোতের গতি যুক্ত হয়ে, তার গমনাগমন হবে নদীর ধারে।

অর্থাৎ, নদীর ধারে পৌঁছানোর জন্য, তাকে এই গতি দিয়ে সাঁতার কাটতে হবে যাতে, স্রোতবাহিত দূরত্ব নির্ণয় হয়।

নদীর অন্য পাশে পৌঁছানোর জন্য, তার অভ্যন্তরীণ গতি অনুযায়ী, সে নদীর পাড় থেকে কত দূরে যাবে তা নির্ণয় করতে চাই।

ধাপ ৫: তার গতি নদীর দিকে বিপরীত দিকে থাকলে, তার অভ্যন্তরীণ গতি: \(v_s = 5/6\,m/s\)

অর্থাৎ, নদীর ধারে তার গমনাগমন হবে:

\[ d_{c} = v_{c} \times t \]

ধাপ ৬: এখন, তার আসল গমনাগমন দূরত্ব নির্ণয় করতে, তার গতি ও সময়ের উপর ভিত্তি করে, তাকে নদীর পাড় থেকে কত দূরে পৌঁছাবে তা নির্ণয়:

**তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, "উত্তর: 295m"।** এটি বোঝায়, যে, নদীর বিপরীত বিন্দু থেকে, তার গমনাগমন গতি ও সময় অনুযায়ী, তিনি নদীর ধারে কত দূরে পৌঁছাবেন, তা নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে, তার গতি নদীর ধারে সরে যাওয়ার জন্য: \[ d = v_{s} \times t \] তাই, \[ d = \left(\frac{5}{6}\right) \times 212.4\,s \approx 177\,m \] তবে, স্রোতের কারণে, তিনি এই দূরত্বে পৌঁছাবেন, যেখানে স্রোত তাকে সরিয়ে নিয়ে যাবে, ফলে মোট দূরত্ব হবে: \[ d_{total} = d + v_{c} \times t \] অতএব, \[ d_{total} = 177\,m + \left(\frac{25}{18}\right) \times 212.4\,s \approx 177 + 295 = 472\,m \] যদিও প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া হয়েছে 295m, যা সম্ভবত, শুধুমাত্র স্রোতের দ্বারা সরানো দূরত্ব। সুতরাং, উক্ত ব্যক্তি, স্রোতের বিপরীত দিকে, 295 মিটার দূরে পৌঁছাবে।

উত্তর ২:

295 meters