\( \left| \begin{matrix} 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & \omega \end{matrix} \right| \) এর মান কোনটি?

আমরা একটি ৩x৩ ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্ট হিসাব করব:

\[
M = \begin{bmatrix}
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\omega^2 & 1 & \omega
\end{bmatrix}
\]

এখানে, \(\omega\) হলো একটি কুণ্ডলী মূল (primitive root of unity), যা satisfy করে:

• \(\omega^3 = 1\)
• \(1 + \omega + \omega^2 = 0\)

এখন, ডিটারমিনেন্ট নির্ণয় করি:

\[
\det(M) = 
\begin{vmatrix}
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\omega^2 & 1 & \omega
\end{vmatrix}
\]

ডিটারমিনেন্টের জন্য, প্রথম সারি অনুযায়ী সম্প্রসারণ করি:

\[
\det(M) = 1 \cdot 
\begin{vmatrix}
\omega^2 & 1 \\
1 & \omega
\end{vmatrix}
- \omega \cdot 
\begin{vmatrix}
\omega & 1 \\
\omega^2 & \omega
\end{vmatrix}
+ \omega^2 \cdot
\begin{vmatrix}
\omega & \omega^2 \\
\omega^2 & 1
\end{vmatrix}
\]

প্রতিটি 2x2 ডিটারমিনেন্ট হিসাব করি:

\[
\begin{aligned}
D_1 &= \begin{vmatrix}
\omega^2 & 1 \\
1 & \omega
\end{vmatrix} = \omega^2 \cdot \omega - 1 \cdot 1 = \omega^3 - 1 = 1 - 1 = 0 \\
D_2 &= \begin{vmatrix}
\omega & 1 \\
\omega^2 & \omega
\end{vmatrix} = \omega \cdot \omega - 1 \cdot \omega^2 = \omega^2 - \omega^2 = 0 \\
D_3 &= \begin{vmatrix}
\omega & \omega^2 \\
\omega^2 & 1
\end{vmatrix} = \omega \cdot 1 - \omega^2 \cdot \omega^2 = \omega - (\omega^2)^2
\end{aligned}
\]

এখন, \((\omega^2)^2 = \omega^4\)। কারণ \(\omega^3 = 1\), তাই \(\omega^4 = \omega^{3+1} = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega\)। সুতরাং:

\[
D_3 = \omega - \omega
= 0
\]

অতএব, ডিটারমিনেন্টের মান:

\[
\det(M) = 1 \cdot 0 - \omega \cdot 0 + \omega^2 \cdot 0 = 0
\]

সুতরাং, এই ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিনেন্টের মান হলো 0.