Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \(i^{-101} + i^{-100} + i^{-99} + i^{-98}\)
প্রথমে, আমরা জানি যে, \(i\) এর ঘূর্ণন চক্র:
\[
i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1
\]
এবং এই চক্র পুনরাবৃত্তি হয়।
অর্থাৎ, \(i\) এর ঘোরের জন্য আমরা সাধারণত \(i^n\) এর মান নির্ণয় করি \(n\) এর উপর ভিত্তি করে \(n \mod 4\)।
এখন, প্রত্যেকের জন্য \(i^n\) এর মান নির্ণয় করি:
\[
i^{-101} = \frac{1}{i^{101}}
\]
এবং similarly for others.
প্রথমে, \(i^{101}\) নির্ণয় করি:
\[
101 \div 4 = 25 \text{ with a remainder of } 1
\]
অর্থাৎ,
\[
i^{101} = i^{4 \times 25 + 1} = (i^4)^{25} \times i^1 = 1^{25} \times i = i
\]
অতএব,
\[
i^{-101} = \frac{1}{i^{101}} = \frac{1}{i}
\]
আমরা জানি,
\[
\frac{1}{i} = -i
\]
(কারণ, \(\frac{1}{i} \times i = 1 \Rightarrow \frac{1}{i} = -i\))।
অতএব,
\[
i^{-101} = -i
\]
পরবর্তী,
\[
i^{-100} = \frac{1}{i^{100}}
\]
\(i^{100}\):
\[
100 \div 4 = 25 \text{ with remainder } 0
\]
অর্থাৎ,
\[
i^{100} = (i^4)^{25} = 1^{25} = 1
\]
অতএব,
\[
i^{-100} = \frac{1}{1} = 1
\]
পরবর্তী,
\[
i^{-99} = \frac{1}{i^{99}}
\]
\(i^{99}\):
\[
99 \div 4 = 24 \text{ with remainder } 3
\]
অর্থাৎ,
\[
i^{99} = i^{4 \times 24 + 3} = (i^4)^{24} \times i^3 = 1^{24} \times (-i) = -i
\]
অতএব,
\[
i^{-99} = \frac{1}{-i} = - \frac{1}{i} = -(-i) = i
\]
অবশেষে,
\[
i^{-98} = \frac{1}{i^{98}}
\]
\(i^{98}\):
\[
98 \div 4 = 24 \text{ with remainder } 2
\]
অর্থাৎ,
\[
i^{98} = i^{4 \times 24 + 2} = (i^4)^{24} \times i^2 = 1^{24} \times (-1) = -1
\]
অতএব,
\[
i^{-98} = \frac{1}{-1} = -1
\]
এখন, সব মান যোগ করি:
\[
i^{-101} + i^{-100} + i^{-99} + i^{-98} = (-i) + 1 + i + (-1)
\]
সরলীকরণ করি:
\[
(-i + i) + (1 - 1) = 0 + 0 = 0
\]
সুতরাং, উত্তর হলো:
উত্তর: 0
