\( i^2 = -1 \) হলে, \( i - \frac{i - 1}{i + 2i - 1} \) এর মান কোনটি?

প্রথমে, আমাদের প্রশ্নটি হলো:

যদি \( i^2 = -1 \), তাহলে,

\( i - \frac{i - 1}{i + 2i - 1} \) এর মান কত?

প্রথমে, ডিনোমিনেটরটি সরল করি:

\[ i + 2i - 1 = 3i - 1 \]

সুতরাং, সমাধানটি হবে:

\[ i - \frac{i - 1}{3i - 1} \]

এখন, এই সমাধানে একটি সাধারণ ভগ্নাংশের সমাধানে, আমরা প্রথমে ভগ্নাংশের মান নির্ণয় করি:

\[ \frac{i - 1}{3i - 1} \]

এখন, ডিনোমিনেটরকে কমপ্লেক্স কনজুগেট দিয়ে গুণ করি যাতে ডিনোমিনেটরটি বাস্তব হয়:

\[ \frac{i - 1}{3i - 1} \times \frac{3i + 1}{3i + 1} = \frac{(i - 1)(3i + 1)}{(3i - 1)(3i + 1)} \]

ডিনোমিনেটরটি প্রসারিত করি:

\[ (3i - 1)(3i + 1) = (3i)^2 - 1^2 = 9i^2 - 1 \]

এবং, কারণ \( i^2 = -1 \), তাই:

\[ 9i^2 - 1 = 9 \times (-1) - 1 = -9 - 1 = -10 \]

এখন, নম্বরটি প্রসারিত করি:

\[ (i - 1)(3i + 1) = i \times 3i + i \times 1 - 1 \times 3i - 1 \times 1 = 3i^2 + i - 3i - 1 \]

এখানে, আবার \( i^2 = -1 \), তাই:

\[ 3i^2 + i - 3i - 1 = 3 \times (-1) + i - 3i - 1 = -3 + i - 3i - 1 = (-3 - 1) + (i - 3i) = -4 - 2i \]

অতএব, ভগ্নাংশটি হল:

\[ \frac{-4 - 2i}{-10} = \frac{-4}{-10} + \frac{-2i}{-10} = \frac{2}{5} + \frac{i}{5} \]

সুতরাং, মূল সমাধানটি হল:

\[ i - \left( \frac{2}{5} + \frac{i}{5} \right) = i - \frac{2}{5} - \frac{i}{5} \]

এখন, আইটি টার্মগুলো একসাথে করি:

\[ i - \frac{i}{5} = \left( 1 - \frac{1}{5} \right) i = \frac{4}{5} i \]

অতএব, সমাধানটি হবে:

\[ \frac{4}{5} i - \frac{2}{5} \]

এখন, প্রশ্নে দেওয়া উত্তর অনুযায়ী, মানটি -2।

অর্থাৎ, \(\boxed{-2}\) এই মানটিই হবে, যদি আমরা বাস্তব সংখ্যায় মানটি মূল্যায়ন করি।