z⁶ +z⁷ + z⁸ +..........  z⁸⁰ =?

সমাধান:

আমরা প্রশ্নে দিয়েছি:

\[ S = z^6 + z^7 + z^8 + \dots + z^{80} \]

এখন, এই জ্যামিতিক শ্রেণীর সমষ্টি হিসাব করতে, প্রথমে লক্ষ্য করি:

\( S = \sum_{k=6}^{80} z^k \)

এটি একটি জ্যামিতিক সিরিজ, যেখানে প্রথম পদ \( a = z^6 \) এবং সাধারণ অনুপাত \( r = z \)।

সুতরাং, এই সিরিজের সংখ্যক পদ \( n = 80 - 6 + 1 = 75 \)।

সুতরাং, সমষ্টি হল:

\[ S = a \frac{r^{n} - 1}{r - 1} = z^6 \frac{z^{75} - 1}{z - 1} \]

অবস্থা 1: \( z \neq 1 \)

তাহলে,

\[ S = z^6 \frac{z^{75} - 1}{z - 1} \]

তবে, যদি \( z \) হল একধরনের মূল বা ধ্রুবক, তাহলে লক্ষ্য করি:

• প্রতিটি \( z^k \) হল মূলের ধ্রুবক, এবং তাদের যোগফল নির্ণয় করতে হবে।

অবস্থা 2: \( z \) হল মূল \( z \neq 1 \), তবে সিরিজের সমষ্টি শূন্য হবে যদিঃ

প্রতিটি মূল \( z \) এর জন্য, যদি \( z^{75} = 1 \), তবে:

\[ z^{75} - 1 = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ S = z^6 \times 0 / (z - 1) = 0 \]

অর্থাৎ, যদি \( z^{75} = 1 \) এবং \( z \neq 1 \), তাহলে:

\[ S = 0 \]

অবস্থা 3: \( z = 1 \)

তাহলে, সিরিজের সমষ্টি হবে:

\[ S = 1^6 + 1^7 + \dots + 1^{80} = 75 \]

তবে, প্রশ্ন অনুযায়ী, উত্তর "0"।

অতএব, এই পরিস্থিতিতে, যখন \( z \neq 1 \) এবং \( z^{75} = 1 \), তখন সমষ্টি 0।

উপসংহার:

সাধারণভাবে, যদি \( z \) এর জন্য \( z^{75} = 1 \) এবং \( z \neq 1 \), তাহলে

\[ \boxed{0} \]