4x+3y= c এবং 12x-5y =2(c+3) মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তি। c এর ধনাত্মক মান কত?

🤔 প্রশ্ন: 4x+3y= c এবং 12x-5y =2(c+3) সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী। c এর ধনাত্মক মান কত?

✍️ সমাধান:

আমরা জানি, \(ax + by + c = 0\) সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \( \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).

প্রদত্ত সরলরেখা দুইটি হলো:

1. 4x + 3y - c = 0
2. 12x - 5y - 2(c+3) = 0 বা, 12x - 5y - 2c - 6 = 0

যেহেতু সরলরেখা দুইটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী, তাই 🤔:

\(\frac{|-c|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-2c - 6|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}}\)

\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|2c + 6|}{\sqrt{144 + 25}}\)

\(\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{25}} = \frac{|2c + 6|}{\sqrt{169}}\)

\(\Rightarrow \frac{|c|}{5} = \frac{|2c + 6|}{13}\)

\(\Rightarrow 13|c| = 5|2c + 6|\)

এখন, দুইটি সম্ভাবনা 💡:

1. 13c = 5(2c + 6)

   \(\Rightarrow 13c = 10c + 30\)

   \(\Rightarrow 3c = 30\)

   \(\Rightarrow c = 10\)

2. 13c = -5(2c + 6)

   \(\Rightarrow 13c = -10c - 30\)

   \(\Rightarrow 23c = -30\)

   \(\Rightarrow c = -\frac{30}{23}\)

যেহেতু প্রশ্নে c এর ধনাত্মক মান জানতে চাওয়া হয়েছে, তাই \(c = 10\). 🎉