4x+8y+17=0  রেখাটির-

1.  সমান্তরাল রেখার সমীকরণ 2x+4y+17=0
2.  লম্বরেখার সমীকরণ 2x-y+5=0
3.  x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে

 নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া রেখাটির সমীকরণ হলো: \[ 4x + 8y + 17 = 0 \] প্রথমে, রেখাটির ধ্রুবকবিহীন সূচক (slope) নির্ণয় করি। রেখার সমীকরণকে সাধারণ রূপে লিখলে: \[ 4x + 8y = -17 \] দ্বিতীয় ধাপে, রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক নির্ণয় করি: \[ y = mx + c \] এখানে, সমীকরণ থেকে y এর জন্য প্রকাশ করলে: \[ 8y = -4x - 17 \] \[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{17}{8} \] অর্থাৎ, রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক: \[ m = -\frac{1}{2} \] ---

(i) সমান্তরাল রেখার সমীকরণ:

সমান্তরাল রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক একই হবে। অর্থাৎ, সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হবে: \[ 2x + 4y + k = 0 \] এখানে, এর ধ্রুবকবিহীন সূচক: \[ y = -\frac{1}{2}x - \frac{k}{4} \] প্রথম রেখার সমীকরণের ধ্রুবকবিহীন সূচক: \(-\frac{1}{2}\) অতএব, সমান্তরাল রেখার জন্য: \[ 2x + 4y + k = 0 \] এটি একটি সমীকরণ যেখানে ধ্রুবক \(k\) যে কোন মানে হতে পারে। সুতরাং, এই সমীকরণটি সঠিক। ---

(ii) লম্ব রেখার সমীকরণ:

লম্ব রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক হবে বিপরীত ও ঋণাত্মক। অর্থাৎ, যদি মূল রেখার সূচক হয় \(m = -\frac{1}{2}\), তাহলে লম্ব রেখার সূচক হবে: \[ m_{perpendicular} = 2 \] লম্ব রেখার সমীকরণ সাধারণত: \[ y = 2x + c' \] সমীকরণের সরলরূপে: \[ y - 2x = c' \] অর্থাৎ, \[ 2x - y + c'' = 0 \] এখানে, \(c''\) যে কোন ধ্রুবক। অতএব, এই সমীকরণও সঠিক। ---

(iii) রেখাটির ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ:

রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক \(m = -\frac{1}{2}\)। এখানে, রেখার ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ উৎপন্ন করে, অর্থাৎ, রেখার ধনাত্মক দিকের সাথে x অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যে উৎপন্ন কোণটি নির্ণয় করি। ধনাত্মক দিকের সাথে রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচক: \(m = -\frac{1}{2}\) রেখার ধ্রুবকবিহীন সূচকের কোণ \(\theta\) হবে: \[ \theta = \arctan(m) = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right) \] অর্থাৎ, \[ \theta \approx -26.565^\circ \] ধনাত্মক দিকের সাথে এই কোণের মান হবে: \[ 180^\circ + (-26.565^\circ) = 153.435^\circ \] অর্থাৎ, এই কোণটি ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন করে। সুতরাং, এটি সঠিক। ---

উপসংহার:

উপরে বিশ্লেষণ অনুযায়ী, সমান্তরাল রেখার সমীকরণ (i), লম্বরেখার সমীকরণ (ii), এবং ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূলকোণ (iii) সবই সঠিক। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:

i, ii & iii