x-3y+5= 0 এবং 2x - 6y +9 = 0 রেখাদ্বয়ের ক্ষেত্রে-

1. রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল
2. দ্বিতীয় রেখার ঢাল =1/3
3. এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 1/√10

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, দুইটি রেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: 1. \( x - 3y + 5 = 0 \) 2. \( 2x - 6y + 9 = 0 \)

ধাপ 1: রেখাগুলির ঢাল নির্ণয়

রেখার সমীকরণ সাধারণ রূপ: \( Ax + By + C = 0 \) ঢাল = \(- \frac{A}{B}\) - প্রথম রেখার সমীকরণ: \( x - 3y + 5 = 0 \) ঢাল: \(- \frac{1}{-3} = \frac{1}{3} \) - দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ: \( 2x - 6y + 9 = 0 \) ঢাল: \(- \frac{2}{-6} = \frac{1}{3} \) অতএব, **উভয় রেখার ঢাল সমান** \(\frac{1}{3}\)। **উপসংহার:** উভয় রেখার ঢাল সমান, অর্থাৎ, এই রেখাদ্বয় সমান্তরাল। এখানে, উল্লিখিত বিকল্প: **(i) "রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল"** — সঠিক। **(ii) "দ্বিতীয় রেখার ঢাল = 1/3"** — সঠিক।

ধাপ 2: এই রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়

প্রথমে, দুই রেখার সমীকরণ: - \( R_1: x - 3y + 5 = 0 \) - \( R_2: 2x - 6y + 9 = 0 \) নোট করুন: দ্বিতীয় রেখাটি প্রথম রেখার দ্বিগুণ (নির্দেশিত) নয়, কারণ: \( R_2 \) এর সমীকরণ: \( 2x - 6y + 9 = 0 \) অর্থাৎ, যদি প্রথম রেখাটির সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করি: \( 2x - 6y + 10 = 0 \) তাই, দেখা যাচ্ছে, \( R_2 \) প্রথম রেখার সমীকরণের সাথে সমান্তরাল কিন্তু ভিন্ন। এবং, এই দুই রেখার মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। দূরত্বের সূত্র: \[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] যেখানে, \( R_1: Ax + By + C_1 = 0 \) \( R_2: Ax + By + C_2 = 0 \) অতএব, \( A = 1 \), \( B = -3 \) \( C_1 = 5 \) \( C_2 = 9 \) দূরত্ব: \[ d = \frac{|9 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{4}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} \] সুতরাং, \[ d = \frac{2}{\sqrt{10}} \] প্রশ্নে বলা হয়েছে: "এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = \( \frac{1}{\sqrt{10}} \)" অর্থাৎ, সঠিক মান \( \frac{2}{\sqrt{10}} \), যা প্রশ্নে উল্লেখিত মানের দ্বিগুণ। অতএব, এই বিবরণে, **উল্লেখ্য যে, প্রশ্নে দেওয়া দূরত্ব মানটি ভুল বা অন্যভাবে বোঝানো হয়েছে।** তবে, মূল সূত্র অনুযায়ী, দূরত্ব \( \frac{2}{\sqrt{10}} \), যা প্রশ্নে উল্লেখিত \( \frac{1}{\sqrt{10}} \) থেকে দ্বিগুণ। **সুতরাং,** - (i) "রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল" — **সঠিক** - (ii) "দ্বিতীয় রেখার ঢাল = 1/3" — **সঠিক** - "এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 1/√10" — **মূল্য ভুল বা অপ্রমাণিত** (সঠিক মান হলো \( \frac{2}{\sqrt{10}} \)) তাই, প্রশ্নের উত্তর: **"i ও ii"**

উপসংহার:

উভয় রেখা সমান্তরাল এবং দ্বিতীয় রেখার ঢাল 1/3।