\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \) এর মান কোনটি?

প্রথমে আমরা প্রশ্নটি বিবেচনা করি:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \]

এখানে, আমরা লক্ষ্য করছি যে, যখন \(x\) শূন্যের দিকে যাচ্ছে, তখন উভয় টার্মই শূন্যের দিকে যাচ্ছে।

এখন, এই লিমিটটি সমাধানের জন্য আমাদের লিমিটের মৌলিক সূত্র বা লোপিত মূল্যের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

প্রথমে, আমরা মনে করি যে, যদি আমরা সরাসরি \(x = 0\) এ বসাই, তবে:

\[ \frac{e^{2 \times 0} - 1}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0} \]

এটি an indeterminate form, তাই লোপিত মূল্য বা ডেরিভেটিভের মাধ্যমে সমাধান করবো।

আমরা জানি যে,

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax} - 1}{x} = a \]

এটি কারণ, \( e^{ax} \) এর ডেরিভেটিভ \( a e^{ax} \) এবং যখন \(x \to 0\), তখন \( e^{ax} \to 1 \)।

অথবা, আমরা লিমিটটি ল্যাম্বার্টের সূত্র বা টেলর সিরিজ ব্যবহার করেও সমাধান করতে পারি।

তাই, এখানে \( e^{2x} \) এর টেলর সিরিজ:

\[ e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \cdots \]

সুতরাং,

\[ e^{2x} - 1 = 2x + 2x^2 + \cdots \]

এখন, এটি মূলত:

\[ \frac{e^{2x} - 1}{x} = \frac{2x + 2x^2 + \cdots}{x} = 2 + 2x + \cdots \]

যখন \( x \to 0 \), তখন এই মানটি হবে:

\[ 2 \]

অতএব, মূল লিমিটের মান হলো:

\[ \boxed{2} \]