tan^-1((4sqrtx)/(1-4x)) এর অন্তরক সহগ কোনটি?

প্রশ্ন: \( \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right) \) এর অন্তরকলজ নির্ণয় করো। 🧐

সমাধান:

ধরি, \( y = \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right) \)

এখন, \( \sqrt{x} = \tan{\theta} \) ধরি। 🤓 সুতরাং, \( x = \tan^2{\theta} \).

তাহলে, \( y = \tan^{-1}\left(\frac{4\tan{\theta}}{1-4\tan^2{\theta}}\right) \)

আমরা জানি, \( \tan{2A} = \frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}} \)। 🤔

সুতরাং, \( 2\tan{\theta} = \tan{\alpha} \) ধরি। তাহলে, \( \tan{\theta} = \frac{\tan{\alpha}}{2} \) এবং \( \theta = \tan^{-1}(\frac{\tan{\alpha}}{2}) \).

অতএব, \( y = \tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot 2\tan{\theta}}{1-(2\tan{\theta})^2}\right) = \tan^{-1}(\tan{2\alpha})=2\alpha \)

যেহেতু, \( 2\tan{\theta} = \tan{\alpha} \) সুতরাং \( \alpha = \tan^{-1}(2\tan{\theta}) \)

সুতরাং, \(y = 2\tan^{-1}(2\tan{\theta}) =2\tan^{-1}(2\sqrt{x}) \) 🤗

এখন, \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরকলজ করে পাই,

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(2\tan^{-1}(2\sqrt{x})\right)\)

\(= 2 \cdot \frac{1}{1 + (2\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(2\sqrt{x})\)

\(= 2 \cdot \frac{1}{1 + 4x} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(= \frac{2}{\sqrt{x}(1 + 4x)}\)

অতএব, \( \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{x}}{1-4x}\right) \) এর অন্তরকলজ \( \frac{2}{\sqrt{x}(1+4x)} \)। 🎉