A(1, 2) ও B(2, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নিচের কোনটি?
সঠিক উত্তরঃ
A.
x2 + y2 - 3x - 5y + 8 = 0
Another Explanation (5): প্রথমে, বিন্দু A(1, 2) ও B(2, 3) এর মধ্যবর্তী সংযোগ রেখাংশের মধ্যবিন্দু নির্ণয় করি:
\[
\text{মধ্যবিন্দু} \quad M(x_m, y_m) = \left( \frac{1 + 2}{2}, \frac{2 + 3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right)
\]
দ্বিতীয়ত, এই রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:
\[
AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
অর্থাৎ, ব্যাসের দৈর্ঘ্য \(2r = \sqrt{2}\) থেকে,
\[
r = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
তাই, ব্যাসের কেন্দ্র হলো মধ্যবিন্দু \( M \) ও ব্যাসের দৈর্ঘ্য হলো \(2r\).
তাহলে, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) = \left( \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \right) \) ও রেডিয়াস \( r = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
বৃত্তের সমীকরণ:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2
\]
\[
(x - \frac{3}{2})^2 + (y - \frac{5}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
প্রথমে, সমীকরণটি সাধারণ রূপে নিয়ে আসি:
\[
\left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{1}{2}
\]
বর্গের প্রকাশ:
\[
x^2 - 2 \times x \times \frac{3}{2} + \left( \frac{3}{2} \right)^2 + y^2 - 2 \times y \times \frac{5}{2} + \left( \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{1}{2}
\]
\[
x^2 - 3x + \frac{9}{4} + y^2 - 5y + \frac{25}{4} = \frac{1}{2}
\]
সমস্ত পজিশনাল টার্মগুলো একপাশে নিয়ে আসি:
\[
x^2 - 3x + y^2 - 5y + \frac{9}{4} + \frac{25}{4} - \frac{1}{2} = 0
\]
সংখ্যাগুলো যোগ করি:
\[
\frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2}
\]
এবং,
\[
-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
\]
অতএব,
\[
x^2 - 3x + y^2 - 5y + \frac{17}{2} - \frac{1}{2} = 0
\]
\[
x^2 - 3x + y^2 - 5y + 8 = 0
\]
এখন, এই সমীকরণটি HTML এবং LaTeX ব্যবহার করে লিখি:
<math> x^2 - 3x + y^2 - 5y + 8 = 0 </math>উপরোক্ত সমীকরণের জন্য, আমরা সম্পূর্ণ বর্গ করে সাধারণ রূপে আনব: \[ x^2 - 3x = x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} \] \[ y^2 - 5y = y^2 - 5y + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left( y - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} \] অতএব, \[ \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 - \frac{9}{4} + \left( y - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} + 8 = 0 \] সংখ্যাগুলো যোগ করি: \[ \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} - 8 \] \[ = \frac{34}{4} - 8 = \frac{17}{2} - 8 = \frac{17}{2} - \frac{16}{2} = \frac{1}{2} \] সুতরাং, সাধারণ সমীকরণ হল: \[ \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y - \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \] এবং এটি পূর্ববর্তী সমীকরণের সমান। এটি মানানসই বিকল্প: \[ x^2 + y^2 - 3x - 5y + 8 = 0 \] এখানে, এই সমীকরণে মাঝখানে সম্পূর্ণ বর্গের ফর্ম ফুটে ওঠে। তাই, সঠিক উত্তর হলো:
<math> x^2 + y^2 - 3x - 5y + 8 = 0 </math>