x² + y² - 3x - 4y + 5 = 0 এবং 3x² + 3y² - 6x - 9y - 3 = 0, দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।

বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথম বৃত্তের সমীকরণঃ \[ x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5 = 0 \] দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণঃ \[ 3x^2 + 3y^2 - 6x - 9y - 3 = 0 \] প্রথমে, দ্বিতীয় সমীকরণটি সাধারণ রূপে আনতে হবে। প্রথমে, সমীকরণের সকল অংশকে 3 দ্বারা ভাগ করি: \[ x^2 + y^2 - 2x - 3y - 1 = 0 \] এখন, এটির সাথে প্রথম সমীকরণের তুলনা করতে পারি। --- **প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র ও অর্ধবৃত্তের ধ্রুবক নির্ণয়:** \[ x^2 - 3x + y^2 - 4y + 5 = 0 \] এখানে, পূর্ণ স্কোয়ারের মাধ্যমে রূপান্তর করি: \[ x^2 - 3x + y^2 - 4y = -5 \] সম্পূরক যোগ করি: \[ x^2 - 3x + \left(\frac{-3}{2}\right)^2 - \left(\frac{-3}{2}\right)^2 + y^2 - 4y + ( -2)^2 - ( -2)^2 = -5 \] অর্থাৎ, \[ \left( x^2 - 3x + \frac{9}{4} \right) + \left( y^2 - 4y + 4 \right) = -5 + \frac{9}{4} + 4 \] \[ \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y - 2 \right)^2 = -5 + \frac{9}{4} + 4 \] সমাধান করি ডান পাশে: \[ -5 + 4 = -1 \] \[ -1 + \frac{9}{4} = -\frac{4}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{4} \] অর্থাৎ, \[ \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + ( y - 2)^2 = \frac{5}{4} \] এতে, প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \( C_1 = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \) এবং রেডিয়াস \( r_1 = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)। --- **দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণের পুনর্বিন্যাস:** \[ x^2 + y^2 - 2x - 3y = 1 \] পূর্ণ স্কোয়ারে রূপান্তর করি: \[ x^2 - 2x + y^2 - 3y = 1 \] সম্পূরক যোগ করি: \[ x^2 - 2x + 1 - 1 + y^2 - 3y + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} = 1 \] অর্থাৎ, \[ ( x - 1)^2 + \left( y - \frac{3}{2} \right)^2 = 1 + 1 + \frac{9}{4} = 2 + \frac{9}{4} = \frac{8}{4} + \frac{9}{4} = \frac{17}{4} \] এতে, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \( C_2 = (1, \frac{3}{2}) \) এবং রেডিয়াস \( r_2 = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \)। --- **সাধারণ জ্যা (Common Chord) এর সমীকরণ:** প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র \( C_1 = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \), দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \( C_2 = (1, \frac{3}{2}) \). সাধারণ জ্যার জন্য দুই কেন্দ্রের মধ্যবর্তী লাইনটি খুঁজতে হবে। এটি দুই সমীকরণের সমানুপাতিক ব্যবধানের সমীকরণ, অর্থাৎ, \[ \text{General chord} = \text{equation of the line dividing the two circles} \] দুটি সমীকরণের যোগফল বা বিয়োগফল থেকে সাধারণ জ্যার নির্ণয় করি: \[ \text{(বৃত্ত ১)} - \text{(বৃত্ত ২)}: \] \[ \left( x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5 \right) - 3 \times \left( x^2 + y^2 - 2x - 3y - 1 \right) = 0 \] অথবা, সরাসরি সমীকরণ থেকে সাধারণ জ্যার পাওয়া যায়, যেহেতু কেন্দ্রের মধ্যবর্তী রেখা দুই বৃত্তের সমান্তরাল। তাই, দুই সমীকরণের মধ্যবর্তী রেখার সমীকরণ: \[ \text{(বৃত্ত ১)} - \text{(বৃত্ত ২)}: \] \[ (x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5) - (x^2 + y^2 - 2x - 3y - 1) = 0 \] সরলীকরণ করি: \[ -3x - 4y + 5 - (-2x - 3y - 1) = 0 \] \[ -3x - 4y + 5 + 2x + 3y + 1 = 0 \] \[ (-3x + 2x) + (-4y + 3y) + (5 + 1) = 0 \] \[ - x - y + 6 = 0 \] অথবা, \[ x + y - 6 = 0 \] **অতএব, দুই বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ হলো:** \[ \boxed{ x + y - 6 = 0 } \] ---

উত্তরঃ

x + y - 6 = 0