\( (1+ax)^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^3 \) এবং \( x^4 \) এর সহগ পরস্পর সমান হলে \( a \) এর মান কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( (1+ax)^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x^3 \) এবং \( x^4 \) এর সহগ পরস্পর সমান হলে \( a \) এর মান কত?

উত্তর: \( \frac{4}{5} \)

সমাধান:

প্রথমে, বিস্তৃতি থেকে সহগ নির্ণয় করব।

\( (1 + ax)^8 \) এর বিস্তৃতির সাধারণ সূচক সহগ হয়:

\[ \binom{8}{k} (ax)^k = \binom{8}{k} a^k x^k \]

অর্থাৎ, \( x^k \) এর সহগ হলো:

\[ \binom{8}{k} a^k \]

প্রথমত, \( x^3 \) এর সহগ:

\[ \text{Coefficient of } x^3 = \binom{8}{3} a^3 \]

দ্বিতীয়ত, \( x^4 \) এর সহগ:

\[ \text{Coefficient of } x^4 = \binom{8}{4} a^4 \]

প্রশ্ন অনুযায়ী, এই দুই সহগ সমান:

\[ \binom{8}{3} a^3 = \binom{8}{4} a^4 \]

অর্থাৎ:

\[ \binom{8}{3} a^3 = \binom{8}{4} a^4 \]

এখানে, \(\binom{8}{3} = 56\), এবং \(\binom{8}{4} = 70\)। সুতরাং:

\[ 56 a^3 = 70 a^4 \]

অথবা,

\[ 56 a^3 = 70 a^4 \]

যদি \( a \neq 0 \), তাহলে উভয় পাশে \( a^3 \) দ্বারা ভাগ করি:

\[ 56 = 70 a \]

অতএব,

\[ a = \frac{56}{70} = \frac{4}{5} \]

উত্তর:

\( \boxed{\frac{4}{5}} \)