\( x+i\sqrt{1-x^2} \) জটিল সংখ্যার বর্গমূল কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( x + i \sqrt{1 - x^2} \) এর জটিল সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করো। সমাধান: ধরা যাক, \[ z = x + i \sqrt{1 - x^2} \] এবং এর বর্গমূল \( w \) হয়, যেখানে \[ w = a + i b \] অর্থাৎ, \[ w^2 = z \] অতএব, \[ (a + i b)^2 = x + i \sqrt{1 - x^2} \] বর্গফল বের করলে, \[ a^2 + 2 i a b - b^2 = x + i \sqrt{1 - x^2} \] এখন, বাস্তব অংশ ও কাল্পনিক অংশ সমান করতে হবে: 1. বাস্তব অংশ: \[ a^2 - b^2 = x \] 2. কাল্পনিক অংশ: \[ 2 a b = \sqrt{1 - x^2} \] এখন, প্রথম সমীকরণ থেকে, \[ a^2 = x + b^2 \] দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে, \[ 2 a b = \sqrt{1 - x^2} \] অর্থাৎ, \[ a = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{2 b} \] এখন, \( a^2 \) এর মান দিয়ে প্রথম সমীকরণে বসাতে হবে: \[ \left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{2 b}\right)^2 - b^2 = x \] অর্থাৎ, \[ \frac{1 - x^2}{4 b^2} - b^2 = x \] এখানে, সমীকরণে সবদিক গুণ করলে: \[ \frac{1 - x^2}{4 b^2} - b^2 = x \] দুটি অংশের সমন্বয়ে: \[ \frac{1 - x^2}{4 b^2} - b^2 = x \] উভয় পাশে 4 \(b^2\) দিয়ে গুণ করলে: \[ 1 - x^2 - 4 b^4 = 4 x b^2 \] এখন, এটি একটি চতুর্থ ডিগ্রি সমীকরণ। তবে, সহজ সমাধানের জন্য, আমরা একটি পরিবর্তন আনতে পারি: ধরি \( t = a + i b \) এর মানে, এবং এর মানে, \[ |w| = \sqrt{a^2 + b^2} \] আমরা লক্ষ্য করি যে \( z \) এর মানে, \[ |z| = \sqrt{x^2 + (1 - x^2)} = 1 \] অর্থাৎ, \[ |z| = 1 \] এবং, \( w \) এর মানে, \[ |w| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\text{বর্গমূলের মানের}} = \sqrt{r} \] যেখানে, \( r = |z| \) এর বর্গমূল। যেহেতু, \( |z| = 1 \), তাই, \[ |w| = 1 \] অর্থাৎ, \[ a^2 + b^2 = 1 \] এখন, \( a \) ও \( b \) এর মানে উপরের সমীকরণ থেকে: \[ a^2 - b^2 = x \] \[ 2 a b = \sqrt{1 - x^2} \] এবং, \[ a^2 + b^2 = 1 \] এখন, দুটি সমাধান পাওয়া যাবে: \[ a = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{2}} \] \[ b = \pm \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{2}} \] সুতরাং, এই মানগুলো দিয়ে \( w \) এর মান হবে: \[ w = a + i b = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{2}} + i \pm \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{2}} \] এখানে, দুটি সাইন পরিবর্তন থাকতে পারে, তবে সাধারণ রূপে: \[ w = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1 + x} + i \sqrt{1 - x}\right) \] অতএব, \(\boxed{ \text{জটিল সংখ্যার বর্গমূল} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1 + x} + i \sqrt{1 - x}\right) }\) উপসংহার: অর্থাৎ, \[ \boxed{ \sqrt{x + i \sqrt{1 - x^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{1 + x} + i \sqrt{1 - x}\right) } \]