\( x_1+2x_2 \leq 10 \), \( x_1 + x_2 \geq 1 \), \( x_2 \leq 4 \), \( x_1, x_2 > 0 \) শর্তসাপেক্ষে \( z = x_1 + 2x_2 \) এর সর্বোচ্চ মান কত?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: \( x_1+2x_2 \leq 10 \), \( x_1 + x_2 \geq 1 \), \( x_2 \leq 4 \), \( x_1, x_2 > 0 \) শর্তসাপেক্ষে \( z = x_1 + 2x_2 \) এর সর্বোচ্চ মান কত, জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. 5: ভুল, এটি সঠিক উত্তর নয়। B. 13: ভুল, এটি সঠিক উত্তর নয়। C. 10: সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। D. 8: ভুল, এটি সঠিক নয়। E. 12: ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: এই প্রশ্নে শর্তাবলী এবং সর্বোচ্চ মান বের করতে ম্যাথেমেটিক্যাল প্রোগ্রামিং বা অ্যালজেব্রিক সমীকরণ ব্যবহার করতে হয়।

Another Explanation (5): ```html

ধাপ ১: অসমীকরণগুলোকে সমীকরণে রূপান্তর করি

আমরা প্রথমে অসমীকরণগুলোকে সমীকরণে পরিণত করি:

1. \( x_1 + 2x_2 = 10 \)
2. \( x_1 + x_2 = 1 \)
3. \( x_2 = 4 \)
4. \( x_1 = 0 \)
5. \( x_2 = 0 \)

ধাপ ২: সম্ভাব্য সমাধানগুলো নির্ণয় করি

এখন আমরা এই সমীকরণগুলোর ছেদবিন্দুগুলো বের করি, যা সম্ভাব্য সমাধান হতে পারে:

• সমীকরণ ১ ও ২ এর ছেদবিন্দু: \( x_1 + 2x_2 = 10 \) এবং \( x_1 + x_2 = 1 \)। বিয়োগ করে পাই, \( x_2 = 9 \)। তাহলে, \( x_1 = 1 - 9 = -8 \)। কিন্তু \( x_1 > 0 \) হওয়ায় এই সমাধানটি গ্রহণযোগ্য নয়।
• সমীকরণ ১ ও ৩ এর ছেদবিন্দু: \( x_1 + 2x_2 = 10 \) এবং \( x_2 = 4 \)। তাহলে, \( x_1 = 10 - 2 \times 4 = 2 \)। সুতরাং, ছেদবিন্দুটি হলো \( (2, 4) \)।
• সমীকরণ ২ ও ৩ এর ছেদবিন্দু: \( x_1 + x_2 = 1 \) এবং \( x_2 = 4 \)। তাহলে, \( x_1 = 1 - 4 = -3 \)। কিন্তু \( x_1 > 0 \) হওয়ায় এই সমাধানটি গ্রহণযোগ্য নয়।
• \( x_1 + 2x_2 = 10 \) এবং \( x_1 = 0 \) এর ছেদবিন্দু: \( (0, 5) \)
• \( x_1 + 2x_2 = 10 \) এবং \( x_2 = 0 \) এর ছেদবিন্দু: \( (10, 0) \)
• \( x_1 + x_2 = 1 \) এবং \( x_1 = 0 \) এর ছেদবিন্দু: \( (0, 1) \)
• \( x_1 + x_2 = 1 \) এবং \( x_2 = 0 \) এর ছেদবিন্দু: \( (1, 0) \)

যেহেতু \( x_1, x_2 > 0 \), তাই সম্ভাব্য সমাধানগুলো হলো: \( (2, 4), (0, 1), (0, 5),(1,0),(10,0) \)

ধাপ ৩: সীমাবদ্ধতা বিবেচনা করি

আমাদের সীমাবদ্ধতাগুলো হলো:

• \( x_1+2x_2 \leq 10 \)
• \( x_1 + x_2 \geq 1 \)
• \( x_2 \leq 4 \)
• \( x_1, x_2 > 0 \)

এখন আমরা দেখি কোন বিন্দুগুলো এই শর্তগুলো পূরণ করে:

• \( (2, 4) \) : \( 2 + 2(4) = 10 \leq 10 \), \( 2 + 4 = 6 \geq 1 \), \( 4 \leq 4 \)। শর্ত পূরণ করে। ✅
• \( (0, 1) \) : \( 0 + 2(1) = 2 \leq 10 \), \( 0 + 1 = 1 \geq 1 \), \( 1 \leq 4 \)। শর্ত পূরণ করে। ✅
• \( (0, 5) \) : \( 0 + 2(5) = 10 \leq 10 \), \( 0 + 5 = 5 \geq 1 \), \( 5 \nleq 4 \)। শর্ত পূরণ করে না। ❌
• \( (1, 0) \) : \( 1 + 2(0) = 1 \leq 10 \), \( 1 + 0 = 1 \geq 1 \), \( 0 \leq 4 \)। শর্ত পূরণ করে। ✅
• \( (10, 0) \) : \( 10 + 2(0) = 10 \leq 10 \), \( 10 + 0 = 10 \geq 1 \), \( 0 \leq 4 \)। শর্ত পূরণ করে। ✅

ধাপ ৪: \( z \) এর মান নির্ণয়

এখন আমরা \( z = x_1 + 2x_2 \) এর মান বের করি প্রতিটি সম্ভাব্য সমাধানের জন্য:

• \( (2, 4) \) : \( z = 2 + 2(4) = 10 \)
• \( (0, 1) \) : \( z = 0 + 2(1) = 2 \)
• \( (1, 0) \) : \( z = 1 + 2(0) = 1 \)
• \( (10, 0) \) : \( z = 10 + 2(0) = 10 \)

ধাপ ৫: সর্বোচ্চ মান নির্বাচন

দেখা যাচ্ছে, \( z \) এর সর্বোচ্চ মান হলো \( 10 \), যা \( (2, 4) \) এবং \( (10, 0) \) বিন্দুতে পাওয়া যায়। 🎉 সুতরাং, \( z = x_1 + 2x_2 \) এর সর্বোচ্চ মান হলো \( 10 \)। ✨ ```