একটি পূর্ণ কম্পনে T সময়ে দশার পরিবর্তন 2% হলে কৌণিক কম্পাঙ্ক কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন অনুযায়ী, একটি পূর্ণ কম্পনে T সময়ের জন্য দশার পরিবর্তন 2% হলে কৌণিক কম্পাঙ্ক \(\omega\) কত তা নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, চলকগুলো সংজ্ঞায়িত করি:

• সময়ের জন্য পূর্ণ কম্পনকাল: \(T\)
• কম্পনের ফ্রিকোয়েন্সি: \(f = \frac{1}{T}\)
• কৌণিক কম্পাঙ্ক: \(\omega = 2\pi f\)

একটি পূর্ণ কম্পনে, দশার পরিবর্তন \(\theta(t)\) সাধারণত: \(\theta(t) = \theta_0 \sin(\omega t)\)।

এখানে, দশার পরিবর্তনের পরিবর্তন প্রায় 2%, অর্থাৎ:

\[ \frac{\Delta \theta}{\theta} \approx 2\% \]

অর্থাৎ, একটি পূর্ণ চক্রের সময় \(T\) এর মধ্যে দশা পরিবর্তিত হয়:

\[ \Delta \theta = 2\% \] অর্থাৎ, \[ \frac{\Delta \theta}{\theta} = 0.02 \]

একটি পূর্ণ চক্রে, দশার সর্বোচ্চ মান \(\theta_0\) এর জন্য, দশার পরিবর্তন \(\Delta \theta\) হবে:

\[ \Delta \theta = 2 \theta_0 \] (কারণ, দশা \(\sin(\omega t)\) এর মাধ্যমে, সর্বোচ্চ মান \(\theta_0\) এবং এটি পরিবর্তিত হয় \(\pm \theta_0\)।)

তাহলে, এই পরিবর্তনের অনুপাত হবে:

\[ \frac{\Delta \theta}{\theta_0} = 2 \Rightarrow 0.02 = 2 \Rightarrow \text{অর্থাৎ, এই মানটি সম্ভব নয়।} \]

আসলে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, T সময়ে দশার পরিবর্তন 2%, অর্থাৎ:

\[ \frac{\Delta \theta}{\theta} = 0.02 \]

এখানে, \(\Delta \theta\) হলো দশার সর্বোচ্চ মান থেকে পরবর্তী পর্যায় পর্যন্ত পরিবর্তন, অর্থাৎ, এই পরিবর্তনটি মোটামুটি \(\theta_0 \sin(\omega t)\) এর সময়ের মধ্যে ঘটে।

এখন, সাধারণতঃ, দশার পরিবর্তনের হার \(d\theta/dt = \omega \theta_0 \cos(\omega t)\)।

তাই, দশার সর্বোচ্চ হার হবে:

\[ \left| \frac{d\theta}{dt} \right|_{max} = \omega \theta_0 \]

তাহলে, 2% পরিবর্তন মানে:

\[ \frac{\Delta \theta}{\theta_0} = \frac{\text{maximum change in } \theta}{\theta_0} \approx \frac{\omega \theta_0 \Delta t}{\theta_0} = \omega \Delta t \] (এখানে, \(\Delta t\) হলো সময়ের পরিবর্তন, যা T এর অর্ধেক বা অন্য কোনো ছোট সময় হতে পারে, তবে প্রশ্নে সরাসরি এই তথ্য নেই।)

তবে, প্রশ্নে সরাসরি বলা হয়েছে, T সময়ের মধ্যে দশার পরিবর্তন 2%। এর মানে, T সময়ের মধ্যে, \(\theta(t)\) এর মানে 2% পরিবর্তন হয়।

অর্থাৎ, এই পরিবর্তনের জন্য, আমরা বলতে পারি:

\[ \frac{\Delta \theta}{\theta} = 0.02 \Rightarrow \text{অর্থাৎ, } \theta(t)\ এর মানের 2% পরিবর্তন T সময়ের মধ্যে ঘটে।

যেহেতু, \(\theta(t) = \theta_0 \sin(\omega t)\), তাহলে, T এর জন্য, \(\omega T = 2\pi\)।

এবং, দশা পরিবর্তনের জন্য সংক্ষিপ্ত বিশ্লেষণে, এক সম্পূর্ণ কম্পনের সময় \(\Delta t = T\), তখন আমাদের বলতে হবে যে, দশার পরিবর্তন 2% মানে, T সময়ের মধ্যে \(\sin(\omega t)\) এর মান 0.02 এর মতো পরিবর্তিত হয়েছে।

সাধারণভাবে, এই পরিস্থিতিতে, কৌণিক কম্পাঙ্ক \(\omega\) এর মান হবে:

ω = 2π / T

অতএব, উত্তর হলো:

কৌণিক কম্পাঙ্ক: \(\boxed{\omega = \frac{2\pi}{T}}\)