একটি বুলেট কোনো দেয়ালের ভিতর 2 ইঞ্চি ঢুকবার পর উহার অর্ধেক বেগ হারায়। বুলেটটি দেয়ালের ভিতর আরো কত ইঞ্চি ঢুকবে ?
ধরা যাক, বুলেটের মূল দৈর্ঘ্য \(L\) ইঞ্চি।
প্রথমে, বুলেট দেয়ালের ভিতর 2 ইঞ্চি ঢুকলে, তার অর্ধেক বেগ হারায়। অর্থাৎ, প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে বুলেটের বেগের হার ৫০% হয়।
প্রতিটি ইঞ্চি ঢোকার পর বুলেটের অর্ধেক বেগ হারায় বলে ধরে নেওয়া যায়, অর্থাৎ প্রতিটি 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে বেগের হার ৫০% কমে যায়।
তাহলে, প্রথম 2 ইঞ্চিতে বুলেটের গতি \(v_0\) থেকে \(v_1 = \frac{v_0}{2}\) হয়।
এখন, বুলেটের অর্ধেক বেগ হারানোর পরে, বুলেটের বেগের হার \(v_1 = \frac{v_0}{2}\)।
প্রতিটি পরবর্তী ধাপে, বুলেটের গতি আবার অর্ধেক হয়।
আমি ধরে নিচ্ছি, বুলেটের গতি কমে যাওয়ার জন্য কার্যকর বেগ হারানোর জন্য একটি ধ্রুবক হার \(\alpha\) আছে।
তাহলে, বুলেটের গতি পরবর্তী ধাপে:
\[ v_{n} = v_{0} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \]প্রতিটি ধাপে, বুলেটের গতি অর্ধেক হয়ে যায়।
বর্তমানে, প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে, বুলেটের গতি:
\[ v_1 = \frac{v_0}{2} \]এখন, বুলেট আরও কত ইঞ্চি ঢুকবে, ধরি \(x\) ইঞ্চি।
বুলেটের গতি পরবর্তী ধাপে আবার অর্ধেক হবে, অর্থাৎ:
\[ v_2 = \frac{v_0}{4} \]এবং এইভাবে, প্রতিটি ধাপে গতি অর্ধেক হয়।
প্রতিটি ধাপে, বুলেটের ক্ষয়প্রাপ্ত বেগের হার অনুযায়ী, ক্ষয়প্রাপ্ত শক্তি বা কাজের সমানুপাতিকতা অনুসারে, ধাপের আয়তন নির্ণয় করতে পারি।
বুলেটের গতি কমে যাওয়ার জন্য, আমরা জানি, প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে অর্ধেক বেগ হারাচ্ছে।
এছাড়াও, প্রতি ধাপে, বুলেটের ক্ষয়প্রাপ্ত বেগের হার অর্ধেক হচ্ছে।
প্রথম 2 ইঞ্চির পরে, বুলেটের গতি হয়ে যায়:
\[ v_1 = \frac{v_0}{2} \]এখন, বুলেটের অর্ধেক বেগ হারানোর জন্য, বুলেট আরো কত ইঞ্চি ঢুকবে সেটি নির্ণয় করি।
প্রতিটি ধাপে, বুলেটের গতি অর্ধেক হয়ে যায়।
অর্থাৎ, বুলেটের গতি পরবর্তী ধাপে: \(v_{n} = v_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\)
এবার, বুলেটের গতি হ্রাসের কারণে, আরও কত ইঞ্চি ঢুকবে সেটি নির্ণয় করতে, আমরা গতি ও ক্ষয়প্রাপ্ত শক্তির সমানুপাতিকতা বিবেচনা করব।
সাধারণত, ক্ষয়প্রাপ্ত ইঞ্চি নির্ণয়ে, প্রথম ধাপের জন্য 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে, অর্ধেক বেগ হারানোর ফলে, অবশিষ্ট ক্ষয়প্রাপ্ত ইঞ্চি হবে:
\[ x_{additional} = \frac{2}{\text{বুলেটের অর্ধেক হারানোর পরে অবশিষ্ট ক্ষয়প্রাপ্ত ইঞ্চি}} = \frac{2}{1} \times \frac{1}{\text{অর্ধেক হারানোর ধাপের সংখ্যা}} \]অথবা, গাণিতিকভাবে, যদি প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে, বুলেটের গতি অর্ধেক হয়, তাহলে পরবর্তী ক্ষয়প্রাপ্ত ইঞ্চি হবে:
\[ x_{additional} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{(1/2)} = 4 \]তবে, এই জন্য আরও সঠিক সমাধান করতে, আমরা সাধারণত ব্যবহার করি একটি ধ্রুবক অনুপাত, যেখানে প্রথম 2 ইঞ্চির পরে, বুলেট আরো কত ইঞ্চি ঢুকবে সেটি নির্ণয় করতে পারি।
অতএব, সমাধানটি হচ্ছে:
\[ x_{additional} = \frac{2}{1/2} = 4 \text{ ইঞ্চি} \]অর্থাৎ, বুলেটটি দেয়ালের ভিতর আরো 4 ইঞ্চি ঢুকবে।
সুতরাং, প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার পর, বুলেট আরো কত ইঞ্চি ঢুকবে তার যোগফল:
\[ 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3} \text{ ইঞ্চি} \]তাই, উত্তর হলো:
উত্তর: \( \frac{2}{3} \)