Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে মূলবিন্দু ও রেখার অক্ষের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের ত্রিখন্ডক বিন্দু নির্ণয় করতে হবে। ধরা যাক, মূলবিন্দু \(A(x_1, y_1)\) এবং রেখার উপর একটি বিন্দু \(B(x_2, y_2)\)।
প্রশ্নে মূলবিন্দু ও রেখার অক্ষের মধ্যবর্তী অংশের ত্রিখন্ডক বিন্দু নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
ধরা যাক, মূলবিন্দু \(A\) থেকে রেখার অক্ষের মধ্যে ত্রিখন্ডক বিন্দু \(P\) হবে।
তাহলে, মূলবিন্দু থেকে রেখার অক্ষের মধ্যবর্তী অংশের ত্রিখন্ডক বিন্দু হবে:
\[
P = \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}B
\]
প্রথমে, মূলবিন্দু \(A\) এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
ধরি, মূলবিন্দু \(A(0,0)\) (যেহেতু মূলবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হয় না এবং মূলবিন্দু সাধারণত ওরিজিন হিসেবে ধরা হয়)।
এবং রেখা \(x + 3y - 12 = 0\) এর উপর একটি বিন্দু \(B(x_2, y_2)\) হবে।
প্রতিটি বিন্দু \(B\) রেখার উপর হলে, তার সমীকরণ পূরণ করতে হবে।
ধরা যাক, \(B(x_2, y_2)\)।
তাহলে,
\[
x_2 + 3y_2 - 12 = 0
\]
তাহলে, ত্রিখন্ডক বিন্দু \(P\) এর স্থানাঙ্ক হবে:
\[
P = \left( \frac{2}{3}x_2, \frac{2}{3}y_2 \right)
\]
এখন, এই বিন্দুটি মূলবিন্দু (0,0) থেকে \(B\) পর্যন্ত ত্রিখন্ডক হিসেবে বিবেচিত, তাই এর জন্য নির্দিষ্ট \(x_2, y_2\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
কিন্তু এখানে, মূলবিন্দু ও রেখার অক্ষের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের ত্রিখন্ডক বিন্দু twoটির সমীকরণ চাই।
তাহলে, প্রথমে মূলবিন্দু ও রেখার অক্ষের মধ্যবর্তী অংশের ত্রিখন্ডক বিন্দু নির্ণয় করি।
প্রথম ত্রিখন্ডক বিন্দু \(P_1\):
\[
P_1 = \frac{2}{3}A + \frac{1}{3}B
\]
এবং দ্বিতীয় ত্রিখন্ডক বিন্দু \(P_2\):
\[
P_2 = \frac{1}{3}A + \frac{2}{3}B
\]
যেহেতু \(A(0,0)\), তাহলে:
\[
P_1 = \frac{2}{3}(0,0) + \frac{1}{3}(x_2, y_2) = \left( \frac{x_2}{3}, \frac{y_2}{3} \right)
\]
\[
P_2 = \frac{1}{3}(0,0) + \frac{2}{3}(x_2, y_2) = \left( \frac{2x_2}{3}, \frac{2y_2}{3} \right)
\]
এখন, \(P_1\) ও \(P_2\) এর সমীকরণ নির্ণয় করি।
তাদের স্থানাঙ্ক থেকে:
\[
P_1: \left( \frac{x_2}{3}, \frac{y_2}{3} \right)
\]
\[
P_2: \left( \frac{2x_2}{3}, \frac{2y_2}{3} \right)
\]
এখন, এই বিন্দুগুলির জন্য, \(x_2, y_2\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
তাদের মধ্যে সম্পর্ক:
\[
x_2 + 3 y_2 = 12
\]
উপরে দেওয়া রেখার সমীকরণ।
তাহলে, \(x_2 = 12 - 3 y_2\)।
প্রতিটি ত্রিখন্ডক বিন্দু নির্ণয় করি:
\[
P_1: \left( \frac{12 - 3 y_2}{3}, \frac{y_2}{3} \right) = (4 - y_2, \frac{y_2}{3})
\]
\[
P_2: \left( 2(4 - y_2), 2 \cdot \frac{y_2}{3} \right) = (8 - 2 y_2, \frac{2 y_2}{3})
\]
উদাহরণস্বরূপ, যদি \(y_2 = 0\):
\[
x_2 = 12 - 3 \times 0 = 12
\]
তাহলে,
\[
P_1 = (4 - 0, 0) = (4, 0)
\]
\[
P_2 = (8 - 0, 0) = (8, 0)
\]
অর্থাৎ, ত্রিখন্ডক বিন্দুগুলির সমীকরণ:
\[
P_1(4, 0)
\]
\[
P_2(8, 0)
\]
উপসংহারে, মূলবিন্দু থেকে রেখার অক্ষের মধ্যবর্তী অংশের ত্রিখন্ডক বিন্দুগুলির সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{2x - 3y = 0}
\]
এবং এই সমীকরণটি এই বিন্দুগুলির জন্য প্রযোজ্য।
