2R ও 4R ব্যাসার্ধের দুটি কৃত্রিম গ্রহের উপগ্রহের পর্যায়কালের অনুপাত-
1:√8
ধরি, দুইটি কৃত্রিম গ্রহের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \( R_1 = 2R \) ও \( R_2 = 4R \)।
প্রতিটি গ্রহের উপগ্রহের পর্যায়কাল (orbital period) নিচের সূত্র অনুযায়ী নির্ণয় করা যায়:
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \)
এখানে,
- \( T \) = উপগ্রহের পর্যায়কাল
- \( r \) = উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ বা দূরত্ব
- \( G \) = গ্যাসের মহাকর্ষ শক্তি ধ্রুবক
- \( M \) = গ্রহের ভর
ধরা হলো, উপগ্রহের কক্ষপথের দূরত্ব একই রকম বা অনুরূপ, অর্থাৎ \( r_1 \) ও \( r_2 \) যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় গ্রহের জন্য।
তাহলে, প্রথম গ্রহের উপগ্রহের পর্যায়কাল:
\( T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{r_1^3}{GM_1}} \)
দ্বিতীয় গ্রহের উপগ্রহের পর্যায়কাল:
\( T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{r_2^3}{GM_2}} \)
যেহেতু, গ্রহের ভর \( M \) এর উপর নির্ভর করে, এবং ধরা হলো কক্ষপথের দূরত্ব একই, তবে ভর বিভিন্ন।
অতএব, পর্যায়কাল অনুপাত:
\[ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{r_1^3 / GM_1}{r_2^3 / GM_2}} = \sqrt{\frac{r_1^3}{r_2^3} \times \frac{M_2}{M_1}} \]ধরা হলো, গ্রহের ভর অনুপাত:
\[ \frac{M_2}{M_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 \]যেহেতু, \( R_1 = 2R \) ও \( R_2 = 4R \), তাহলে:
\[ \frac{M_2}{M_1} = \left(\frac{4R}{2R}\right)^3 = 2^3 = 8 \]এবং যদি কক্ষপথের দূরত্বও একই হয়, তবে:
\[ \frac{r_1}{r_2} = 1 \]তাহলে, পর্যায়কাল অনুপাত হবে:
\[ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1^3}{1^3} \times 8} = \sqrt{8} = \sqrt{8} \]অর্থাৎ, উপসংহার:
উপগ্রহের পর্যায়কালের অনুপাত: \( \boxed{1 : \sqrt{8}} \)