একটি নিরেট গোলক যখন গড়াতে থাকে তখন ঘূর্ণন গতিশক্তি মোট গতিশক্তির শতকরা কত ভাগ?

ধরা যাক, একটি নিরেট গোলকের ভর \( M \) এবং ব্যাসার্ধ \( R \)। যখন গোলকটি গড়াতে থাকে, তখন এর মোট গতিশক্তি দুই ভাগে বিভক্ত হয়:

1. অবস্থানগত শক্তি (Potential energy)
2. গতিশক্তি (Kinetic energy)

গোলকের গড়ানোর জন্য, এর ঘূর্ণন ও অনুলিপি (translational) গতি সমানুপাতিক।

প্রথমে, গোলকের ভর কেন্দ্রের গতি \( v \) এবং ঘূর্ণন গতি \( \omega \) এর মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে:

\( v = \omega R \)

গোলকের মোট গতি সংক্রান্ত শক্তি হলো:

\( KE_{total} = KE_{translational} + KE_{rotational} \)

এখানে:

\( KE_{translational} = \frac{1}{2} M v^2 \)

\( KE_{rotational} = \frac{1}{2} I \omega^2 \)

গোলকের নিরেট হওয়ায়, তার ঘূর্ণনের জন্য ধ্রুবক অুণুপাতের জন্য ইরেকট্রিক্স (moment of inertia) হলো:

\( I = \frac{2}{5} M R^2 \)

অতএব, ঘূর্ণন গতি \( \omega \) এর জন্য:

\( KE_{rotational} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \times \omega^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega^2 \)

এবং, কারণ \( v = \omega R \), তাহলে:

\( KE_{rotational} = \frac{1}{5} M v^2 \)

অতএব, মোট শক্তি:

\( KE_{total} = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{5} M v^2 = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{5} \right) M v^2 = \left( \frac{5}{10} + \frac{2}{10} \right) M v^2 = \frac{7}{10} M v^2 \)

অর্থাৎ, ঘূর্ণন শক্তির হারাধিকার:

\( KE_{rotational} = \frac{1}{5} M v^2 \)

অতএব, মোট শক্তির মধ্যে ঘূর্ণন শক্তির শতাংশ:

\[
\text{প্রতिशत} = \left( \frac{KE_{rotational}}{KE_{total}} \right) \times 100 = \left( \frac{\frac{1}{5} M v^2}{\frac{7}{10} M v^2} \right) \times 100 = \left( \frac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{10}} \right) \times 100 = \left( \frac{1/5}{7/10} \right) \times 100
\]

= \left( \frac{1/5 \times 10/7} \right) \times 100 = \left( \frac{10}{35} \right) \times 100 = \frac{2}{7} \times 100 \approx 28.57\%

সুতরাং, একটি নিরেট গোলক যখন গড়াতে থাকে, তখন তার মোট শক্তির কত ভাগ ঘূর্ণন শক্তি তা প্রায় 28.57%।