\( 2\cos^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta = 3 \) হলে, \( \theta=? \)

সমাধান:

প্রশ্নটি হলো:

\( 2\cos^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta = 3 \)

প্রথমে, \(\cos^2\theta\) এর পরিবর্তে \(\) এর সিনোনিম ব্যবহার করি:

\(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\)

অতএব, সমীকরণটি হয়:

\[ 2(1 - \sin^2\theta) + 2\sqrt{2}\sin\theta = 3 \]

বিস্তৃত করি:

\[ 2 - 2\sin^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta = 3 \]

এখন, সমীকরণটি সাজাই:

\[ -2\sin^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta + 2 = 3 \]

দুটি পাশে ২ বাদ দিলে:

\[ -2\sin^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta = 1 \]

উভরেকে -1 গুণ করলে:

\[ 2\sin^2\theta - 2\sqrt{2}\sin\theta = -1 \]

এখন, সাধারণত পলিনোমিয়াল সমাধানের জন্য, \(\sin\theta = x\) ধরি। তাহলে:

\[ 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0 \]

এটি একটা দ্বিগুণ সমীকরণ। এখন, সমাধান করি:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

\[ x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{( -2\sqrt{2})^2 - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} \]

\[ x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(4 \times 2) - 8}}{4} \]

\[ x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{4} \]

\[ x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{0}}{4} \]

\[ x = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

অতএব, \(\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

এখন, জানি যে \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)। সুতরাং,

\(\theta = 45^\circ\)

উত্তর:

\(\boxed{45^\circ}\)