\( (3,1) \) এবং \( (-4,1) \) বিন্দু দিয়ে যায় এরুপ বৃত্তের কেন্দ্র \( y \)-অক্ষের উপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্নের দেওয়া তথ্য অনুযায়ী, বৃত্তের দুইটি বিন্দু হলো \( (3,1) \) এবং \( (-4,1) \)। বৃত্তের কেন্দ্র \( y \)-অক্ষের উপর অবস্থিত, অর্থাৎ কেন্দ্রের \( x \)-অক্ষের মান হবে \( 0 \)। ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (0, k) \) এবং এর ব্যাসের দৈর্ঘ্য \( 2r \)। তাহলে বৃত্তের সমীকরণ হবে: \[ (x - 0)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] এখন, এই বৃত্তটি দিয়ে যায় উভয় বিন্দু: \[ \begin{cases} (3)^2 + (1 - k)^2 = r^2 \quad \text{(বিন্দু } (3,1) \text{)} \\ (-4)^2 + (1 - k)^2 = r^2 \quad \text{(বিন্দু } (-4,1) \text{)} \end{cases} \] এখানে, প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ 9 + (1 - k)^2 = r^2 \] এবং দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে: \[ 16 + (1 - k)^2 = r^2 \] দুটি সমীকরণ থেকে: \[ 9 + (1 - k)^2 = 16 + (1 - k)^2 \] দুটি সমীকরণের মধ্যে থেকে, \((1 - k)^2\) অপ্রয়োজনীয় হয়ে যায় এবং আমরা পাই: \[ 9 = 16 \] যা সত্য নয়। অর্থাৎ, এই দুটি বিন্দু একই বৃত্তে থাকতে পারে না যেখানে কেন্দ্র \( y \)-অক্ষের উপর অবস্থিত। অর্থাৎ, কোন একক সমাধান বা সমীকরণ এই শর্ত পূরণ করে না। অতএব, প্রশ্নের উত্তর হবে: \[ \boxed{\text{"কোনটিই নয়"}} \] অর্থাৎ, এমন কোনো বৃত্তের সমীকরণ নেই যেটির কেন্দ্র \( y \)-অক্ষের উপর অবস্থিত এবং উভয় বিন্দু দিয়ে যায়।