অধিবৃত্তের অক্ষ দুইটিকে স্থানাংকের অক্ষ ধরে এমন একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য 24 এবং  উপকেন্দ্রের স্থানাংক (0, ±13)

Another Explanation (5): ```html

প্রথমে, ধরা যাক অধিবৃত্তের অক্ষ দুইটি হলো x অক্ষ ও y অক্ষ।

উপকেন্দ্রের স্থানাংক \( (0, \pm 13) \) অর্থাৎ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \( (0, 13) \) অথবা \( (0, -13) \)।

অধিবৃত্তের অক্ষ দুইটি স্থানাংক অক্ষের উপর থাকায়, অধিবৃত্তের সমীকরণ হবে:

(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1

যেখানে, \( (h, k) \) হলো কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক।

প্রশ্নে বলছে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (0, \pm 13) \), অর্থাৎ দুটি উপকেন্দ্রের জন্য কেন্দ্রের সাথে সম্পর্ক:

উপকেন্দ্রের সূত্র: \( c^2 = a^2 - b^2 \)

এখানে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্কে কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (h, k) \) থেকে দূরত্ব \( c \)।

চিহ্নিত করি যে, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \( (h, k) \)। কারণ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (0, \pm 13) \), এবং তারা কেন্দ্র থেকে দূরত্বে সমান।

তাহলে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব হলো:

c = |k - 0| = |k| = 13

অধিবৃত্তের অক্ষ দুইটির জন্য, তার মানে হলো:

a = 12  (অধিবৃত্তের অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য, তাই অক্ষের অর্ধেক হচ্ছে a = 24/2 = 12)

এখন, উপকেন্দ্রের সূত্র অনুযায়ী:

c^2 = a^2 - b^2

13^2 = 12^2 - b^2

169 = 144 - b^2

b^2 = 144 - 169 = -25

এটি অপ্রত্যাশিত কারণ \( b^2 \) ধনাত্মক হওয়া উচিত। তবে এখানে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (0, \pm 13) \) থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব হলো 13, এবং অক্ষের দৈর্ঘ্য 24 (অর্থাৎ, \( 2b = 24 \) => \( b = 12 \))। সুতরাং, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (h, k) \) হবে, যেখানে \( h = 0 \) (কারণ অক্ষ দুইটি স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর), এবং \( k = 13 \) বা \( -13 \)। অধিবৃত্তের সমীকরণ: \[ \frac{(x - 0)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \] যেখানে, \( a = 12 \), \( b = 12 \), এবং কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \( (0, 13) \) বা \( (0, -13) \)। অর্থাৎ, সমীকরণ: \[ \frac{x^2}{12^2} + \frac{(y - 13)^2}{12^2} = 1 \] বা, \[ \frac{x^2}{144} + \frac{(y - 13)^2}{144} = 1 \] অথবা, \[ x^2 + (y - 13)^2 = 144 \] অথবা, অন্য উপকেন্দ্রের জন্য, \[ x^2 + (y + 13)^2 = 144 \] উপসংহারে, সমীকরণ হলো:

আপেক্ষিক কেন্দ্রে \( y = \pm 13 \), অক্ষের দৈর্ঘ্য 24, তাই:

\(\boxed{ x^2 + (y - 13)^2 = 144 } \quad \text{অথবা} \quad x^2 + (y + 13)^2 = 144 \)

```