16x^2 - 9y^2 = 144   কণিকটির উপকেন্দ্র কত? 

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ হলো:

\(16x^2 - 9y^2 = 144\)

প্রথমে সমীকরণটিকে সাধারণ আকারে লিখি:

\( \frac{16x^2}{144} - \frac{9y^2}{144} = 1 \)

অথবা:

\( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \)

এটি একটি হাইপারবোলা যার কেন্দ্র (কণিকটির উপকেন্দ্র ও উপবিন্দ) মূল কেন্দ্র (center) হলো (0, 0)।

একক একক ধরণের হাইপারবোলার জন্য, উপকেন্দ্রের স্থান নির্ণয় করতে নিম্নলিখিত নিয়ম অনুসরণ করা হয়:

• ক্ষেত্রের মূল কেন্দ্র হলো (h, k) যেখানে h ও k হলো সমীকরণের x ও y এর জন্য কেন্দ্রের মান। এখানে কেন্দ্র (0, 0)।
• উপকেন্দ্র (foci) এর অবস্থান নির্ণয় করতে, প্রথমে একটি সাধারণ হাইপারবোলার সমীকরণ থেকে তার a, b এবং c নির্ণয় করতে হবে।

এখানে, আকারের জন্য:

\(a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\)

\(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\)

উপকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করতে, c এর মান নির্ণয় করি:

\(c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25\)

অতএব, c = \(\pm 5\)

উপকেন্দ্রের স্থান: (± c, 0) অর্থাৎ (± 5, 0)

উত্তর:

(± 5, 0)