The half-life of one isotope of radium is about 1600 years. In a given sample of this isotope, 15/16 of the radium atoms will decay in a time most nearly equal to-

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: তেজস্ক্রিয় আইসোটোপের অর্ধায়ু এবং ক্ষয়

রেডিয়ামের একটি আইসোটোপের অর্ধায়ু \( T_{1/2} \) প্রায় 1600 বছর। একটি প্রদত্ত নমুনায়, রেডিয়ামের \( \frac{15}{16} \) অংশ ক্ষয় হতে কত সময় লাগবে?

ধরি, শুরুতে রেডিয়ামের পরমাণুর সংখ্যা \( N_0 \)। \( t \) সময় পর \( N \) সংখ্যক পরমাণু অবশিষ্ট থাকে। ক্ষয়ের সূত্র অনুযায়ী:

\[ N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \]

যেহেতু \( \frac{15}{16} \) অংশ ক্ষয় হয়, তাই অবশিষ্ট থাকে \( 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \) অংশ। সুতরাং,

\[ \frac{N}{N_0} = \frac{1}{16} \]

এখন, উপরের সূত্র ব্যবহার করে পাই:

\[ \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1600}} \]

\(\frac{1}{16}\) কে \(\frac{1}{2}\) এর ঘাত আকারে লিখি:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1600}} \]

সুতরাং, ঘাতগুলো সমান হবে:

\[ 4 = \frac{t}{1600} \]

অতএব, \( t \) এর মান:

\[ t = 4 \times 1600 = 6400 \text{ বছর} \]

সুতরাং, \( \frac{15}{16} \) অংশ রেডিয়াম পরমাণু ক্ষয় হতে প্রায় 6400 বছর লাগবে। 🎉

```