From the set of all families with two children , a child is selected at random and is found to be a girl . The probability that the sescond child of this family is also a girl is-

ধরা যাক, একটি পরিবারের দুইটি সন্তান রয়েছে। প্রতিটি সন্তান ছেলেবাবদ বা মেয়েবাবদ হওয়ার সম্ভাবনা সমান, অর্থাৎ, p(ছেলে বা মেয়ে) = \(\frac{1}{2}\)।

সুতরাং, পরিবারের সব সম্ভাব্য অবস্থানসমূহ হলো:

• \(BB\)
• \(BG\)
• \(GB\)
• \(GG\)

এখানে, \(BG\) এবং \(GB\) পৃথক পৃথক সম্ভাবনা, কারণ প্রথম সন্তান ও দ্বিতীয় সন্তানের লিঙ্গ আলাদা হতে পারে।

সম্ভাব্যতা সমূহের সমষ্টি 1, তাই:

\[ P(BB) = \frac{1}{4}, \quad P(BG) = \frac{1}{4}, \quad P(GB) = \frac{1}{4}, \quad P(GG) = \frac{1}{4} \]

প্রশ্নে বলা হয়েছে, এক সন্তানের লিঙ্গ জানা গেছে, সেটি হলো মেয়ের। অর্থাৎ, আমাদের কন্ডিশনাল সম্ভাবনা হল:

\[ P(\text{দ্বিতীয় সন্তানও মেয়ে} \mid \text{একটি সন্তান মেয়ে}) \]

আমরা এই কন্ডিশনাল সম্ভাবনা নির্ণয় করব। প্রথমে, যেসব পরিবারে অন্তত একজন মেয়ে রয়েছে, সেগুলোর সম্ভাবনা:

• \(BG\)
• \(GB\)
• \(GG\)

এবং, এই পরিবারগুলোতে প্রথম বা দ্বিতীয় সন্তান মেয়ের হতে পারে।

প্রথমত, এক সন্তানের লিঙ্গ জানা থাকলে, সেটি মেয়ের হবে, অর্থাৎ, এমন পরিবারগুলো হলো:

• \(BG\): প্রথম সন্তান ছেলে, দ্বিতীয় সন্তান মেয়ে।
• \(GB\): প্রথম সন্তান মেয়ে, দ্বিতীয় সন্তান ছেলে।
• \(GG\): দুই সন্তানই মেয়ে।

সুতরাং, এক সন্তানের লিঙ্গ মেয়ের হলে, সম্ভাব্য পরিবারসমূহ হলো:

• \(GB\)
• \(GG\)

এবং, এই দুটি সম্ভাবনার মধ্যে, দ্বিতীয় সন্তানও মেয়ের সম্ভাবনা হলো:

• \(GG\)

অতএব, কন্ডিশনাল সম্ভাবনা হলো:

\[ P(\text{দ্বিতীয় সন্তানও মেয়ে} \mid \text{এক সন্তান মেয়ের}) = \frac{P(\text{দুই সন্তানই মেয়ে})}{P(\text{একটি সন্তান মেয়ে})} \]

প্রথমত, এক সন্তানের লিঙ্গ জানা থাকলে, সম্ভাবনা:

\[ P(\text{এক সন্তান মেয়ের}) = P(GB) + P(GG) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]

দ্বিতীয়ত, দুই সন্তানই মেয়ের সম্ভাবনা:

\[ P(GG) = \frac{1}{4} \]

অতএব, উত্তর হলো:

\[ \frac{P(GG)}{P(\text{এক সন্তান মেয়ের})} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]

অতএব, দ্বিতীয় সন্তানও মেয়ের সম্ভাবনা হলো 1/2.