x+y=4 রেখাটি x²+y²-12x-8y+34=0 বৃত্তকে স্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দু কোনটি?

প্রশ্ন: x+y=4 রেখাটি x²+y²-12x-8y+34=0 বৃত্তকে স্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দু কোনটি?

সমাধান:

বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 12x - 8y + 34 = 0\)

বৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়: \((-\frac{-12}{2}, -\frac{-8}{2}) = (6, 4)\)

বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়:

\(r = \sqrt{6^2 + 4^2 - 34} = \sqrt{36 + 16 - 34} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)

সরলরেখার সমীকরণ: \(x + y = 4 \Rightarrow x + y - 4 = 0\)

কেন্দ্র \((6, 4)\) থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব:

\(d = \frac{|6 + 4 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)

যেহেতু \(d = r\), সুতরাং রেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে। 🥳

স্পর্শবিন্দু নির্ণয়:

ধরি, স্পর্শবিন্দু \((x_1, y_1)\)

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শবিন্দুর সংযোজক রেখা স্পর্শকের উপর লম্ব।

\((6, 4)\) কেন্দ্র থেকে \(x + y - 4 = 0\) রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ:

\(x - y = c\)

যেহেতু \((6, 4)\) বিন্দুটি রেখার উপর অবস্থিত, সুতরাং,

\(6 - 4 = c \Rightarrow c = 2\)

সুতরাং, লম্ব রেখার সমীকরণ: \(x - y = 2\)

এখন, \(x + y = 4\) এবং \(x - y = 2\) সমাধান করি:

\(x + y = 4\) ...(1)

\(x - y = 2\) ...(2)

(1) + (2) => \(2x = 6 \Rightarrow x = 3\)

x এর মান (1) এ বসিয়ে, \(3 + y = 4 \Rightarrow y = 1\)

সুতরাং, স্পর্শবিন্দু \((3, 1)\) 😃

উত্তর: \((3, 1)\)