Is \(1 < p\)? I. \(p^2 < 2p\) II. \(p < 3\)

Explanation: প্রথম statement থেকে আমরা বুঝতে পারি যে p 2 এর থেকে ছোট, কিন্তু 1 এর থেকে ছোট কিনা বোঝা যাচ্ছে না। Statement 2 থেকে এটা বোঝা যায় যে p 3 এর থেকে ছোট, কিন্তু 1 এর থেকে ছোট কিনা বোঝা যাচ্ছে না। তাই দুইটা statement insufficient. এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমাদের প্রতিটি শর্ত আলাদাভাবে বিশ্লেষণ করতে হবে। শর্ত I: \(p^2 < 2p\). এই অসমতাকে এভাবেও লেখা যায়: \(p^2 - 2p < 0 \Rightarrow p(p - 2) < 0\). এই অসমতাটি সত্য হবে যখন \(0 < p < 2\)। যদি \(0 < p < 2\) হয়, তাহলে অবশ্যই \(1 < p\) হতে পারে, কিন্তু সবসময় তা হবে না। যেমন, \(p = 0.5\) হলে \(1 < 0.5\) মিথ্যা। আবার \(p = 1.5\) হলে \(1 < 1.5\) সত্য। তাই শুধু শর্ত I দিয়ে \(1 < p\) নিশ্চিত করা যায় না। শর্ত II: \(p < 3\). এই শর্তটি দিয়ে আমরা কেবল জানি যে p এর মান 3 এর চেয়ে ছোট। কিন্তু এর মানে এই নয় যে \(1 < p\) হবে। উদাহরণস্বরূপ, \(p = 0.5\) হলে \(0.5 < 3\) সত্য, কিন্তু \(1 < 0.5\) মিথ্যা। আবার \(p = 2\) হলে \(2 < 3\) সত্য এবং \(1 < 2\) সত্য। তাই শুধু শর্ত II দিয়ে \(1 < p\) নিশ্চিত করা যায় না। উভয় শর্ত I ও II: যদি উভয় শর্তই একসাথে সত্য হয়, তাহলে \(0 < p < 2\) এবং \(p < 3\) উভয়ই সত্য হবে। এর মানে হলো \(0 < p < 2\)। এই পরিসরে, p এর মান 1 এর চেয়ে বড় হতেও পারে আবার নাও হতে পারে। যেমন, যদি \(p = 0.5\) হয়, তাহলে উভয় শর্তই সত্য (\(0.5^2 < 2\times0.5\) অর্থাৎ \(0.25 < 1\) এবং \(0.5 < 3\)), কিন্তু \(1 < p\) মিথ্যা। অতএব, প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য কোনো একটি শর্ত বা উভয় শর্তই যথেষ্ট নয়। সঠিক বিকল্প হলো কোনোটিই নয়।