f(x) = tan x এবং g(x) = sin^-1 x

f(x) f(2x)=1 হলে x এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রদত্ত ফাংশনগুলি হলো: \[ f(x) = \tan x \] \[ g(x) = \sin^{-1} (x f(x)) = \sin^{-1} (x \tan x) \] এবং শর্ত দেওয়া হয়েছে: \[ f(2x) = 1 \] আমরা প্রথমে \(f(2x) = 1\) এর মান নির্ণয় করব: \[ f(2x) = \tan(2x) = 1 \] তাহলে, \[ \tan(2x) = 1 \] তাহলে, \[ 2x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] অর্থাৎ, \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} \] এখন, \(g(x)\) এর মান নির্ণয় করি: \[ g(x) = \sin^{-1} (x \tan x) \] প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, \(f(2x) = 1\), অর্থাৎ \(x\) এর মান এই ফর্মুলার মধ্যে থাকবে। এখন, \(g(x)\) এর মানে যদি কোন নির্দিষ্ট মান হয় বা এর মান নির্ণয় করতে হয়, তবে আমরা \(x\) এর মানগুলো দিয়ে দেখব। তবে, মূল লক্ষ্য হলো \(x\) এর মান, যেখানে \(f(2x)=1\) হয়, অর্থাৎ, \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} \] এখন, এই \(x\) মানগুলোকে ব্যবহার করে দেখি: \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} \] অথবা, সাধারণত, \[ x = \frac{\pi}{8} + n \frac{\pi}{2} \] এখন, \(x\) এর মানগুলোকে সাধারণ রূপে প্রকাশ করলে, যেখানে \(n \in \mathbb{Z}\): \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} \] এই মানগুলোকে সাধারণ রূপে প্রকাশ করলে, পর্যাপ্তভাবে: \[ x = n\pi \pm \frac{\pi}{6} \] এটি বোঝাতে পারি যে, \(\tan(2x) = 1\) এর জন্য \(2x = \frac{\pi}{4} + n\pi\), এর মানে হলো, \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2} \] অথবা, \[ x = \left(\frac{\pi}{8}\right) + n \frac{\pi}{2} \] এই মানগুলোকে সাধারণ রূপে প্রকাশ করলে, পাবো: \[ x = n\pi \pm \frac{\pi}{6} \] অতএব, উত্তরের সূত্র হলো: $x\; =\; n\backslash pi\; \backslash pm\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{6\},\; \backslash quad\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$