\( -1+i \) এর আর্গুমেন্ট কোনটি?
প্রশ্ন: \(-1 + i\) এর আর্গুমেন্ট কোনটি?
সমাধানের জন্য প্রথমে আমাদের জেনারেল পদ্ধতি অনুসরণ করতে হবে যেখানে একটি জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট হলো সেই সংখ্যাটির আক্ষরিক দিক (অ্যাঙ্গেল) যা মূল অক্ষ থেকে এর আনুপাতিক রৈখিক দিক নির্দেশ করে।
দেওয়া সংখ্যাটি হলো:
\[ z = -1 + i \]প্রথমে, এই সংখ্যাটির বাস্তব অংশ এবং কাল্পনিক অংশ নির্ণয় করি:
\[ \text{বাস্তব অংশ} = -1, \quad \text{কাল্পনিক অংশ} = 1 \]আর্গুমেন্ট নির্ণয়ের জন্য আর্গুমেন্টের সূত্র হলো:
\[ \theta = \arctan \left( \frac{\text{কাল্পনিক অংশ}}{\text{বাস্তব অংশ}} \right) \]তবে, এই সূত্র সরাসরি ব্যবহার করলে ভুল হতে পারে যদি সংখ্যাটির চতুর্থাংশ বা কোঅর্ডিনেট মূল অক্ষের উপর হয় না। কারণ, \(\arctan\) শুধুমাত্র প্রথম ও তৃতীয় চতুর্থাংশে সঠিক। তাই, আমাদের অবশ্যই সংখ্যাটির চতুর্থাংশ নির্ধারন করতে হবে।
চতুর্থাংশ নির্ণয়:
বাস্তব অংশ: \(-1\) (নেতিবাচক), কাল্পনিক অংশ: \(1\) (ইতিবাচক)
অর্থাৎ, সংখ্যাটি দ্বিতীয় চতুর্থাংশে অবস্থিত, যেখানে বাস্তব অংশ নেতিবাচক এবং কাল্পনিক অংশ ইতিবাচক।
অতএব, আর্গুমেন্টের মান হবে:
\[ \theta = \pi - |\arctan \left( \frac{1}{-1} \right)| = \pi - |\arctan(-1)| \]এবং, \(\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}\), তাই:
\[ \theta = \pi - \left| -\frac{\pi}{4} \right| = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \]উত্তর:
অতএব, \(-1 + i\) এর আর্গুমেন্ট হলো:
\[ \boxed{\frac{3\pi}{4}} \]