Evaluate  intx/(1-x)^2dx  

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: \( \int \frac{x}{(1-x)^2} dx \) আমরা প্রথমে \( \frac{x}{(1-x)^2} \) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি। ধরি, \( \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{A}{1-x} + \frac{B}{(1-x)^2} \) উভয় পক্ষে \( (1-x)^2 \) দিয়ে গুণ করে পাই, \( x = A(1-x) + B \) \( x = A - Ax + B \) \( x = (A+B) - Ax \) এখন উভয়পক্ষের সহগ তুলনা করে পাই, \( -A = 1 \) সুতরাং, \( A = -1 \) এবং \( A + B = 0 \) সুতরাং, \( B = -A = 1 \) তাহলে, \( \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{-1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} \) সুতরাং, \( \int \frac{x}{(1-x)^2} dx = \int \left( \frac{-1}{1-x} + \frac{1}{(1-x)^2} \right) dx \) \( = - \int \frac{1}{1-x} dx + \int (1-x)^{-2} dx \) এখন, \( \int \frac{1}{1-x} dx = -ln|1-x| + c_1 \) এবং \( \int (1-x)^{-2} dx = \frac{(1-x)^{-1}}{-1 \cdot (-1)} + c_2 = \frac{1}{1-x} + c_2 \) অতএব, \( \int \frac{x}{(1-x)^2} dx = -(-ln|1-x|) + \frac{1}{1-x} + C \) \( = ln|1-x| + \frac{1}{1-x} + C \) যেখানে \( C \) হলো যোগজ ধ্রুবক। সুতরাং, \( \int \frac{x}{(1-x)^2} dx = \frac{1}{1-x} + ln|1-x| + c \) 🥳🎉